Σύνολο σημείων ασυνέχειας

[s.kap]

Καλή σας μέρα
Το παρακάτω πρόβλημα είναι αρκετά δύσκολο (τουλάχιστον έτσι μου φάνηκε), αλλά οι φίλοι του σχεδόν πάντα μας επιφυλάσσουν ευχάριστες εκπλήξεις
Η συνάρτηση , η οποία έχει την ιδιότητα έχει άπειρο σύνολο σημείων ασυνέχειας

[Ilias_Zad]

Ας κάνω μια απόπειρα που σκέφτομαι κάποια ώρα τώρα αλλά δεν είμαι τελείως σίγουρος για ένα σημείο της.

Έστω ότι η έχει πεπερασμένα σημεία ασυνέχειας. Τότε θα υπάρχει ωστε στο η να είναι συνεχής. Όμως ως και είναι και μονότονη , άρα έχει όριο στο απο δεξία, έστω .

Όμοια έχει όριο στο από αριστερά το .

Επειδή όμως είναι περιττή,.


Τώρα αν πηγαίνει στο , έστω ως γνησίως αύξουσα. τότε απο τον σχέση που έχουμε έπεται ότι το όριο της στο απο αριστερά είναι μηδέν, οπότε και το όριο του καθώς το παει στο απο αριστερά είναι ίσο με το όριο της στο μηδέν απο δεξιά δηλαδή ίσο με .

Όμως οπότε .

Συνεπως και αφου , συνεχής στο μηδέν.

Τώρα αφού η έχει πεπερασμένα σημεία ασυνέχειας υπάρχει , ώστε στο , f συνεχής άρα και μονότονη.

Όμως υπαρχει , με από συνέχεια στο μηδέν ώστε το να περιέχεται στο .
Θεωρούμε το ).
Aν γνησίως αύξουσα στο , υπάρχουν , με στο ωστε.

Τότε όμως , άτοπο.

Όμοια άτοπο αν γνησίως φθίνουσα.
Συνεπως το ζητούμενο.

EDIT! ξανακοιτώντας την λύση διαπίστωσα κενό στο σημείο με τα κοκκίνα γράμματα καθως είναι ισο με το οριο στο 0- που ειναι προφανώς ίσο με -m.
Αφήνω όμως την προσεγγιση μήπως κάποιος συμπληρώσει αυτό το βήμα και πάρουμε το ζητούμενο.
Εγώ προσωπικά θα την ξανακοιτάξω μόλις βρω χρόνο.

[dement]

Εδω ειναι μια λυση που βρηκα. Ελπιζω.

Στην ουσια η συνθηκη μας λεει οτι το γραφημα της παραμενει αμεταβλητο σε περιστροφη γυρω απο το . Εστω πεπερασμενο συνολο ασυνεχειων. Μερικες συνεπειες αυτου ειναι :

1. Το ειναι σημειο ασυνεχειας (αλλιως η μονοτονια γυρω του θα αλλαζε με την περιστροφη) και .

2. Για κανενα σημειο εκτος του δεν ισχυει η .

3. Το ειναι σημειο ασυνεχειας αν και μονο αν ειναι σημειο ασυνεχειας το (και το ).

4. , με σημειο ασυνεχειας.

Αφου η μεταθετει το συνολο των μη μηδενικων ασυνεχειων με τροχιες μηκους , το συνολικο πληθος των ασυνεχειων πρεπει να ειναι ισοτιμο με . Δηλαδη, το πληθος των ανοικτων διαστηματων οπου η ειναι συνεχης και που οριζονται ειτε απο ασυνεχειες ειτε απο τα πρεπει να ειναι ισοτιμο με .

Αφου ομως η μεταθετει και το συνολο αυτων των ανοικτων διαστηματων, παλι με τροχιες μηκους , το συνολο αυτων των ανοικτων διαστηματων πρεπει να ειναι ισοτιμο με . Ετσι εχουμε ατοπο.

Αρα το συνολο των ασυνεχειων ειναι απειρο.

Δημητρης Σκουτερης

[s.kap]

Νομίζω πως και η δική μου λύση στηρίζεται στην ίδια ιδέα με του Δημήτρη, αλλά θα επιθυμούσα την ιδέα αυτή να την παρουσιάσω πιο αναλυτικά, ώστε να γίνει πιο κατανοητή.
Κατ' αρχάς εύκολα διαπιστώνουμε ότι η είναι περιττή (άρα ) και επί του
Για να μπορούμε να συνεννοηθούμε στα επόμενα, θέτουμε και , για κάθε θετικό ακέραιο
Επίσης παρατηρούμε ότι (1)
Έστω ότι το πλήθος των σημείων ασυνέχειας της είναι πεπερασμένο, ας πούμε ότι είναι ασυνεχής στα σημεία , τότε ονομάζουμε
Από την (1) προκύπτει ότι , όπου , άρα τα σημεία του χωρίζουν το σε διαστήματα, διαφορετικά μεταξύ τους. Αν ονομάσουμε το σύνολο των παραπάνω διαστημάτων τότε , γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα έπρεπε να υπάρχει , ώστε ή . Στην πρώτη περίπτωση θα είχαμε , αδύνατο. Στη δεύτερη περίπτωση θα είχαμε , επίσης αδύνατο. Επειδή σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα δεν υπάρχει το 0, η θα διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα αυτά. Άρα αν είναι ένα τέτοιο διάστημα, τότε , συνεπώς και , ενώ . Άρα το σύνολο , μπορούμε να το χωρίσουμε σε τετράδες διαφορετικών μεταξύ τους διαστημάτων, άτοπο, γιατί
Φιλικά