Ακολουθία

#1

[Πρόκειται για θέμα που έστειλε νωρίτερα απόψε ο nonlinear -- δεν θυμάμαι σε ποιόν ακριβώς φάκελλο -- και που για κάποιον λόγο "δεν υπάρχει" (πλέον) στο

: επειδή ασχολήθηκα με το θέμα το ξαναστέλνω (ελπίζοντας ότι δεν παραβιάζω κάποιους κανόνες του

).]

Να εξεταστεί αν υπάρχουν ακολουθίες θετικών όρων $a_{n}$ που ικανοποιούν την ιδιότητα $a_{1}+...+a_{n}=(a_{1}+a_{n})^{2}$ .

Μια πρώτη απάντηση (βασισμένη σε τηλεσκοπικό χειρισμό του θέματος): ναι, υπάρχουν τέτοιες ακολουθίες, υποχρεωτικά αποκλίνουσες, και το πιο απλό μάλλον παράδειγμα είναι η ακολουθία $a_{1}=1/2,\,\,\, a_{2}=1/2,\,\,\, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{n}}$ (για n>1

).

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Καθώς επίσης και η $\displaystyle{{a_n} = \frac{{2 \cdot n - 1}}{4}}$

#3

Σεραφείμ έγραψε:Καθώς επίσης και η $\displaystyle{{a_n} = \frac{{2 \cdot n - 1}}{4}}$

nonlinear · #4

Εκφωνηση: Να εξετασετε αν υπαρχει ακολουθια $\displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)_{n \ge 1}},{a_n} > 0}$ για την οποια
ισχυει οτι : $\displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {\left( {{a_1} + {a_n}} \right)^2}}$ .

Η απαντηση μου ειναι ναι με τυπο : $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{{a_1} = \frac{1}{4}}$ .

#5

nonlinear έγραψε:Εκφωνηση: Να εξετασετε αν υπαρχει ακολουθια $\displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)_{n \ge 1}},{a_n} > 0}$ για την οποια
ισχυει οτι : $\displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {\left( {{a_1} + {a_n}} \right)^2}}$ .

Η απαντηση μου ειναι ναι με τυπο : $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{{a_1} = \frac{1}{4}$ .

Αυτή είναι βεβαίως η 'ανοικτή' μορφή της ακολουθίας του Σεραφείμ. Η γενική λύση είναι η

$a_{2}=1-a_{1}$ , $a_{n+1}=\frac{1-2a_{1}+\sqrt{4a_{1}^{2}-4a_{1}+1+4a_{n}^{2}+8a_{1}a_{n}}}{2}$ *

Η ακολουθία του Σεραφείμ προκύπτει για $a_{1}=1/4$ **, η δική μου για $a_{1}=1/2$ . Για $a_{1}=3/4$ (και $a_{2}=1/4$ ) λαμβάνουμε $a_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{16a_{n}^{2}+24a_{n}+1}}{4}$ , κοκ

*Προκύπτει από $a_{n+1}=(a_{1}+...+a_{n+1})-(a_{1}+...+a_{n})=(a_{1}+a_{n+1})^{2}-(a_{1}+a_{n})^{2$

**Φυσικά δεν είναι αυτός ο ευκολότερος δρόμος προς την τόσο απλή ακολουθία του Σεραφείμ: αρκεί να δοκιμάσει κανείς την τύχη του με $a_{n}=kn+l$ και να προσδιορίσει τις δυο σταθερές

Γιώργος Μπαλόγλου

nonlinear · #6

gbaloglou έγραψε:
nonlinear έγραψε:Εκφωνηση: Να εξετασετε αν υπαρχει ακολουθια $\displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)_{n \ge 1}},{a_n} > 0}$ για την οποια
ισχυει οτι : $\displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {\left( {{a_1} + {a_n}} \right)^2}}$ .

Η απαντηση μου ειναι ναι με τυπο : $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{{a_1} = \frac{1}{4}$ .
Αυτή είναι βεβαίως η 'ανοικτή' μορφή της ακολουθίας του Σεραφείμ. Η γενική λύση είναι η

$a_{2}=1-a_{1}$ , $a_{n+1}=\frac{1-2a_{1}+\sqrt{4a_{1}^{2}-4a_{1}+1+4a_{n}^{2}+8a_{1}a_{n}}}{2}$ *

Η ακολουθία του Σεραφείμ προκύπτει για $a_{1}=1/4$ **, η δική μου για $a_{1}=1/2$ . Για $a_{1}=3/4$ (και $a_{2}=1/4$ ) λαμβάνουμε $a_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{16a_{n}^{2}+24a_{n}+1}}{4}$ , κοκ

*Προκύπτει από $a_{n+1}=(a_{1}+...+a_{n+1})-(a_{1}+...+a_{n})=(a_{1}+a_{n+1})^{2}-(a_{1}+a_{n})^{2$

**Φυσικά δεν είναι αυτός ο ευκολότερος δρόμος προς την τόσο απλή ακολουθία του Σεραφείμ: αρκεί να δοκιμάσει κανείς την τύχη του με $a_{n}=kn+l$ και να προσδιορίσει τις δυο σταθερές

Γιώργος Μπαλόγλου

Για n=1 απο τον δοθεντα τυπο προκυπτει α1=(2α1)^2-> 4α1^2-α1=0->α1(4α1-1)=0-> α1=1/4 . Δεν μπορω να καταλαβω την τιμη α1=1/2 κ.Μπαλογλου.

#7

nonlinear έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
nonlinear έγραψε:Εκφωνηση: Να εξετασετε αν υπαρχει ακολουθια $\displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)_{n \ge 1}},{a_n} > 0}$ για την οποια
ισχυει οτι : $\displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {\left( {{a_1} + {a_n}} \right)^2}}$ .

Η απαντηση μου ειναι ναι με τυπο : $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{{a_1} = \frac{1}{4}$ .
Αυτή είναι βεβαίως η 'ανοικτή' μορφή της ακολουθίας του Σεραφείμ. Η γενική λύση είναι η

$a_{2}=1-a_{1}$ , $a_{n+1}=\frac{1-2a_{1}+\sqrt{4a_{1}^{2}-4a_{1}+1+4a_{n}^{2}+8a_{1}a_{n}}}{2}$ *

Η ακολουθία του Σεραφείμ προκύπτει για $a_{1}=1/4$ **, η δική μου για $a_{1}=1/2$ . Για $a_{1}=3/4$ (και $a_{2}=1/4$ ) λαμβάνουμε $a_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{16a_{n}^{2}+24a_{n}+1}}{4}$ , κοκ

*Προκύπτει από $a_{n+1}=(a_{1}+...+a_{n+1})-(a_{1}+...+a_{n})=(a_{1}+a_{n+1})^{2}-(a_{1}+a_{n})^{2$

**Φυσικά δεν είναι αυτός ο ευκολότερος δρόμος προς την τόσο απλή ακολουθία του Σεραφείμ: αρκεί να δοκιμάσει κανείς την τύχη του με $a_{n}=kn+l$ και να προσδιορίσει τις δυο σταθερές

Γιώργος Μπαλόγλου
Για n=1 απο τον δοθεντα τυπο προκυπτει α1=(2α1)^2-> 4α1^2-α1=0->α1(4α1-1)=0-> α1=1/4 . Δεν μπορω να καταλαβω την τιμη α1=1/2 κ.Μπαλογλου.

Η εντύπωση μου ήταν ότι ο δοθείς τύπος ισχύει για n > 1, αλλοιώς το πρώτο βήμα δεν είναι $a_{1}=(a_{1}+a_{1})^{2}$ αλλά $a_{1}=a_{1}^{2}$ , οπότε $a_{1}=1$ και $a_{n}=0$ για n > 1 (και τετριμμένο και άτοπο).

Να το πω αλλοιώς, η εμφάνιση του αθροίσματος $a_{1}+a_{n}$ στο δεύτερο σκέλος σημαίνει για μένα n > 1. Αν αυτή η ανάγνωση του τύπου θεωρείται εσφαλμένη τότε προσθέτω εγώ την συνθήκη n > 1 και λύνω ένα διαφορετικό (και πιο ενδιαφέρον) πρόβλημα

Γιώργος Μπαλόγλου

Ακολουθία

Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση