Όριο γινομένου (3)

#1

Έστω σταθεροί αριθμοί $a,b\in\mathbb{R}$ και d>0

.

Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{1+a/n+(k-1)(d/n)}{1+b/n+(k-1)(d/n)}}$ .

(Έχω μια λύση)

#2

Έστω $\displaystyle{m = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\text{ }}\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{1 + a \cdot \dfrac{1}{n} + d \cdot \dfrac{{k - 1}}{n}}}{{1 + b \cdot \dfrac{1}{n} + d \cdot \dfrac{{k - 1}}{n}}}} \right)} }$ . Ορίζουμε $\displaystyle{{y_n} = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{1 + a \cdot \dfrac{1}{n} + d \cdot \dfrac{{k - 1}}{n}}}{{1 + b \dcdot \frac{1}{n} + d \cdot \dfrac{{k - 1}}{n}}}} \right)} = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{n + a + d \cdot \left( {k - 1} \right)}}{{n + b + d \cdot \left( {k - 1} \right)}}} \right)} = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 + \frac{{a - b}}{{n + b + d \cdot \left( {k - 1} \right)}}} \right)} }$ .

Τότε $\displaystyle{\ln \left( {{y_n}} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{{a - b}}{{n + b + d \cdot \left( {k - 1} \right)}}} \right)} = \mathop = \limits^{\dfrac{{a - b}}{{n + b + d \cdot \left( {k - 1} \right)}} \big{= A\left( n \right)}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {A\left( n \right) - \frac{1}{2} \cdot A{{\left( n \right)}^2} + \frac{1}{3} \cdot A{{\left( n \right)}^3} - ..} \right)} }$

οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\text{ }}\ln \left( {{y_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {A\left( n \right) - \frac{1}{2} \cdot A{{\left( n \right)}^2} + \frac{1}{3} \cdot A{{\left( n \right)}^3} - ..} \right)} }$ .

Όμως για κάθε $\displaystyle{m = 2,3,..}$ , ισχύει $\displaystyle{0 \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{A^m}} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{a - b}}{{n + b + d \cdot \left( {k - 1} \right)}}} \right)} ^m} \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{a - b}}{n}} \right)} ^m} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^m}}}{{{n^{m - 1}}}} \to 0}$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\text{ }}\ln \left( {{y_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{a - b}}{{n + b + d \cdot \left( {k - 1} \right)}}} = \left( {a - b} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{1 + \dfrac{b}{n} + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}} \right)} }$ .

Όμως για κάθε $\displaystyle{\varepsilon > 0}$ , υπάρχει $\displaystyle{{n_0}}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{n > {n_0}}$ να ισχύει $\displaystyle{0 \leqslant \frac{b}{n} \leqslant \varepsilon }$ , οπότε $\displaystyle{\frac{1}{{1 + \varepsilon + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}} \leqslant \frac{1}{{1 + \dfrac{b}{n} + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}} \leqslant \frac{1}{{1 + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}}$ .

Επομένως $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{1 + \varepsilon + d \dcdot \frac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}} \right)} \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{1 + \dfrac{b}{n} + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}} \right)} \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{1 + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}} \right)}\Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + \varepsilon + d \cdot x}} \cdot dx} \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{1 + \dfrac{b}{n} + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}} \right)} \leqslant \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + d \cdot x}} \cdot dx}\Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \ln \left( {\frac{{1 + \varepsilon + d}}{{1 + \varepsilon }}} \right) \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{1 + \dfrac{b}{n} + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}} \right)} \leqslant \ln \left( {1 + d} \right)}$ , οπότε με $\displaystyle{\varepsilon \to 0}$ , θα έχουμε : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{1 + \dfrac{b}{n} + d \cdot \dfrac{{\left( {k - 1} \right)}}{n}}}} \right)} = \ln \left( {1 + d} \right)}$

και τελικά $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\text{ }}\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{1 + a \cdot \dfrac{1}{n} + d \cdot \dfrac{{k - 1}}{n}}}{{1 + b \cdot \dfrac{1}{n} + d \cdot \dfrac{{k - 1}}{n}}}} \right)} = {\left( {d + 1} \right)^\big{{\left( {a - b} \right)/d}}}}$

Αν έχουμε $\displaystyle{b < 0}$ , χρειάζεται μια τετριμένη τροποποίηση στις ανισότητες με το $\displaystyle{\varepsilon }$ , με ίδιο αποτέλεσμα.

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\underbrace{\prod_{k=1}^{n}\frac{1+a/n+(k-1)(d/n)}{1+b/n+(k-1)(d/n)}}_{A_{n}}}$ .

Άλλη μια λύση:

$\displaystyle{\ln A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{1+a/n+(k-1)(d/n)}{1+b/n+(k-1)(d/n)}\right)=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{a-b}{(n+b)+(k-1)d}\right)}$ . Όμως

$\displaystyle{\ln\left(1+\frac{a-b}{(n+b)+(k-1)d}\right)=\frac{a-b}{(n+b)+(k-1)d}+\mathkal O\left(\left(\frac{a-b}{(n+b)+(k-1)d}\right)^2\right)=\frac{a-b}{(n+b)+(k-1)d}+\mathkal O\left(\frac{1}{n^2}\right)}$ , άρα

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{a-b}{(n+b)+(k-1)d}\right)=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{a-b}{1+\frac{b}{n}+\frac{k-1}{n}d}\right)+\mathkal O\left(\frac{1}{n}\right)=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{a-b}{1+\frac{k-1}{n}d}\cdot\frac{1}{1+\frac{b/n}{1+(k-1)d/n}}\right)+\mathkal O\left(\frac{1}{n}\right)=}$

$\displaystyle{\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{a-b}{1+\frac{k-1}{n}d}\cdot\left(1+\mathkal O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)+\mathkal O\left(\frac{1}{n}\right)=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{a-b}{1+\frac{k-1}{n}d}\right)+\mathkal O\left(\frac{1}{n}\right)\to\int_{0}^{1}\frac{a-b}{1+dx}\,dx=\frac{a-b}{d}\ln(1+d)}$

άρα το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{(1+d)^{\frac{a-b}{d}}}$ .

Όριο γινομένου (3)

Όριο γινομένου (3)

Re: Όριο γινομένου (3)

Re: Όριο γινομένου (3)

Μέλη σε σύνδεση