Εύρεση τύπου

mathxl · #1

Καλό σας απόγευμα
Μία άσκηση με 2 υποερωτήματα, (το ένα λυκειακό) με ίσως διδακτικές προεκτάσεις
Έστω συνάρτηση f:R-->R με $\displaystyle{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} = {x^2},\forall x \in R}$
ι. Αν η f είναι συνεχής, να βρείτε τον τύπο της
ιι. Αν η f είναι αύξουσα να βρείτε τον τύπο της

#2

mathxl έγραψε:Καλό σας απόγευμα
Μία άσκηση με 2 υποερωτήματα, (το ένα λυκειακό) με ίσως διδακτικές προεκτάσεις
Έστω συνάρτηση f:R-->R με $\displaystyle{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} = {x^2},\forall x \in R}$
ι. Αν η f είναι συνεχής, να βρείτε τον τύπο της
ιι. Αν η f είναι αύξουσα να βρείτε τον τύπο της

To ι είναι απλό, παραγωγίζοντας.

Για το ιι θεωρούμε γνωστό ότι οι αύξουσες συναρτήσεις έχουν ολοκλήρωμα Riemann
(χρειάζεται έτσι και αλλιώς για να έχει νόημα η άσκηση).

Από την υπόθεση έπεται

\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} = b^2 - a^2 ,\forall a < b \in R Άρα

f(a)(b-a) \le b^2 - a^2 \le f(b)(b-a) οπότε

f(a) \le b +a \le f(b) Στην αριστερή ανισότητα, για a σταθερό, παίρνουμε όριο b φθίνοντος στο a. Προκύπτει

f(a) \le 2a . Όμοια, απο την δεξιά για b σταθερό και a αυξάνοντος στο b, προκύπτει

2b \le f(b)$.

Εύκολα τώρα βλέπουμε οτι f(x) = 2x για κάθε x.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

mathxl · #3

Μιχάλη πολύ ωραία η λύση σου

Ας την δυσκολέψουμε λίγο
ιιι. Να βρεθεί ο τύπος της f αν γνωρίζουμε μόνο ότι είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν

#4

Γειά σας
Βασίλη δεν καταλαβαίνω κάτι. Το ολοκλήρωμα μίας ολοκληρώσιμης συνάρτησης δεν επηρρεάζεται από μεμονωμένες τιμές. Αν λοιπόν πάρουμε την f(x)=2x

και την "πειράξουμε" σε διάφορα σημεία, από λίγο έως πολύ λ.χ.
$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x} & {x \ne 0} \\ {666} & {x = 0} \\ \end{array}} \right.$
δεν θα εξακολουθεί να ισχύει η υπόθεση $\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt=x^{2}$ ;
Οπότε προς τι το ερώτημα να βρούμε την

;
(H περίπτωση όπου η

είναι μονότονη μου φαίνεται διαφορετική διότι όπως έδειξε ο Μιχάλης εν τέλει δεν θα έχει σημεία ασυνεχείας)
Εκτός αν υπάρχει κάτι που δεν βλέπω.
Μαυρογιάννης

mathxl · #5

nsmavrogiannis έγραψε:Γειά σας
Βασίλη δεν καταλαβαίνω κάτι. Το ολοκλήρωμα μίας οκληρώσιμης συνάρτησης δεν επηρρεάζεται από μεμονωμένες τιμές. Αν λοιπόν πάρουμε την και την "πειράξουμε" σε διάφορα σημεία, από λίγο έως πολύ λ.χ.
$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x} & {x \ne 0} \\ {666} & {x = 0} \\ \end{array}} \right.$
δεν θα εξακολουθεί να ισχύει η υπόθεση $\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt=x^{2}$ ;
Οπότε προς τι το ερώτημα να βρούμε την ;
(H περίπτωση όπου η είναι μονότονη μου φαίνεται διαφορετική διότι όπως έδειξε ο Μιχάλης εν τέλει δεν θα έχει σημεία ασυνεχείας)
Εκτός αν υπάρχει κάτι που δεν βλέπω.
Μαυρογιάννης

Σωστά Νίκο, εάν έχουμε μετρήσιμο πλήθος σημείων ασυνεχείας π.χ. έστω ότι αυτά τα σημεία συνιστούν το σύνολο Α τότε η f μπορεί να έχει τύπο $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2009,x \in A \\ 2x,x \notin A \\ \end{array} \right.}$ . Όπως είχαμε γράψει σε άλλο τόπικ, αρκεί το Α να έχει μέτρο 0.
Σε ένα άλλο τόπικ είχαμε πει ότι ο κύριος Ρασσιάς θεωρεί πως μία συνάρτηση έχει αρχική εάν είναι συνεχής εκτός από μετρήσιμο πλήθος σημείων...Μήπως είχε σκεφτεί - δει κάτι τέτοιο;;;;Στο σχολικό βιβλίο μόνο εάν η f είναι συνεχής τότε $\displaystyle{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} }$ εκφράζει αρχική, ειδάλλως από αυτήν την άσκηση βλέπουμε μόνο ότι είναι καλώς ορισμένο και υπολογίσιμο χωρίς να το καθιστά αρχική της f.

#6

Η εξίσωση $\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt=x^{2}$ έχει τις ακόλουθες λύσεις:
α) Την προφανή συνεχή λύση f(x)=2x

β) Και άλλες ολοκληρώσιμες λύσεις οι οποίες θα διαφέρουν από την f(x)=2x

στα σημεία που είναι ασυνεχείς και μόνον τα οποία βέβαια θα απαρτίζουν σύνολο μέτρου μηδέν. Συνεπώς η τελική απάντηση είναι ότι η κάθε λύση της εξίσωσης σχεδόν παντού είναι η f(x)=2x

. Δεν έχουμε περιθώρια μεγαλύτερης ακρίβειας και νομίζω συμφωνούμε.
'Οσον αφορά το άλλο θέμα με τις παράγουσες είναι συνηθισμένο να επιλέγονται διάφορες παρουσιάσεις. Η επιλογή των ορισμών γίνεται με κάποιο σκεπτικό που συνήθως δεν εκθέτουν πλήρως οι συγγραφείς. Την είχα παρακολουθήσει την συζήτηση που αναφέρεις καθώς και τις διάφορες "ασυμβατότητες" μεταξύ των βιβλίων, κάτι που προσωπικά μου φαίνεται απολύτως φυσιολογικό. Ενα πολύ ωραίο παράδειγμα αποτελεί το βιβλίο Foundations of Modern Analysis του Dieudonne. O συγγραφέας τελειώνει πολύ γρήγορα με την αόριστη ολοκλήρωση ορίζοντας ως αρχική μίας

μία

που η σχέση $F^{\prime }=f$ ισχύει παντού εκτός από ένα αριθμήσιμο πλήθος σημείων. Και κάνει ολοκληρώματα μία χαρά μεταθέτοντας την γενική θεωρία ολοκλήρωσης για τους επόμενους τόμους. Παρεμπιπτόντως το Foundations... μαζί με τα υπόλοιπα έργα της πραγματείας Treatise On Analysis του Dieudonne, της οποίας είναι μέρος, μπορούν να βρεθούν στο νομιμότατο http://www.archive.org που είχε την καλωσύνη να μας γνωρίσει ο Δημήτρης.
Μαυρογιάννης

#7

Επιτέλους! Δικαιώθηκα...

Χιούμορ κάνω κι εγω απλά διαπιστώνω διαβάζοντας πως αρκετά διαφέρουν απο συγγραφέα σε συγγραφέα...
Σε σημείο που να πονοκεφαλιάζω, όμως!

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση