ακολουθία και τέλεια τετράγωνα!!!

irakleios · #1

Να δειχθεί ότι κάθε όρος της ακολουθίας ${{a_{n+2}}=7{a_{n+1}}-{a_{n}}-2$ είναι τέλειο τετράγωνο όπου ${a_{0}}={a_{1}}=1$

#2

irakleios έγραψε:Να δειχθεί ότι κάθε όρος της ακολουθίας ${{a_{n+2}}=7{a_{n+1}}-{a_{n}}-2$ είναι τέλειο τετράγωνο όπου ${a_{0}}={a_{1}}=1$

Σίγουρα; Βρίσκω

$a_2 = 7\cdot 1 -1-2 = 4=2^2$

$a_3 = 7\cdot 4 -1-2 = 25= 5^2$

$a_4 = 7\cdot 25 -4-2 = 144 = 12^2$

$a_5 = 7\cdot 144 -25-2 =981 = 3^2\cdot109$ = μη τέλειο τετράγωνο. Έκανα λάθος τις πράξεις; Κουρασμένος γαρ.

Μ.

Edit αργότερα: Η μέθοδος μου με ακρίβεια πράξεων καταλήγει στο

στο

στο

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
irakleios έγραψε:Να δειχθεί ότι κάθε όρος της ακολουθίας ${{a_{n+2}}=7{a_{n+1}}-{a_{n}}-2$ είναι τέλειο τετράγωνο όπου ${a_{0}}={a_{1}}=1$
Σίγουρα; Βρίσκω

$a_2 = 7\cdot 1 -1-2 = 4=2^2$

$a_3 = 7\cdot 4 -1-2 = 25= 5^2$

$a_4 = 7\cdot 25 -4-2 = 144 = {\color{red} 13^2}$

2,3,5,8,13 κάτι μου θυμίζει...

#4

Θεωρούμε την ακολουθία

$b_{n+2}=3b_{n+1}-b_n$ , b_0=b_1=1

.

Με επαγωγή αποδεικνύεται ότι $b_{n+1}^2+b_{n}^2=3b_{n+1}b_n-1$ .

Πράγματι, για n=0

ισχύει, οπότε ας υποθέσουμε ότι ισχύει για κάποιο $n\geq 0$ . Τότε

$\displaystyle{b_{n+2}^2+b_{n+1}^2=(3b_{n+1}-b_n)^2+b_{n+1}^2=9b_{n+1}^2+b_n^2-6b_{n+1}b_n+b_{n+1}^2=3(3b_{n+1}-b_n)b_{n+1}-3b_{n+1}b_n+b_n^2+b_{n+1}^2=3b_{n+2}b_{n+1}-1}$

Τώρα αποδεικνύουμε ότι a_n=b_n^2

. Πράγματι, για n=0

και

ισχύει.

Οπότε ας υποθέσουμε ότι ισχύει για n=k

και

για κάποιο $k\geq 0$ . Τότε

$\displaystyle{a_{k+2}=7b_{k+1}^2-b_k^2-2=9b_{k+1}^2+b_k^2-2(b_{k+1}^2+b_k^2+1)=9b_{k+1}^2+b_k^2-6b_{k+1}b_k=(3b_{k+1}-b_k)^2=b_{k+2}^2}$ ,

κι απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

P.S. Κάπου την έχω δει την άσκηση. Κι ίσως έχει λύση με ορίζουσες...

ακολουθία και τέλεια τετράγωνα!!!

ακολουθία και τέλεια τετράγωνα!!!

Re: ακολουθία και τέλεια τετράγωνα!!!

Re: ακολουθία και τέλεια τετράγωνα!!!

Re: ακολουθία και τέλεια τετράγωνα!!!

Μέλη σε σύνδεση