e

Mulder · #1

Αν $(a_n) \to +\infty$ , να δειχθει οτι $(1+\frac{1}{a_n})^{a_n} \to e$ (με βασικες γνωσεις)

#2

Mulder έγραψε:Αν $(a_n) \to +\infty$ , να δειχθει οτι $(1+\frac{1}{a_n})^{a_n} \to e$ (με βασικες γνωσεις)

Είναι γνωστότατο και απλό να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}\left (1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e}$ . Υπάρχουν πολλοί τρόποι απόδειξης και θα βρεις από μία σε κάθε εγχειρίδιο Απειροστικού Λογισμού.

Από αυτό είναι άμεσο το αποδεικτέο. Συγκεκριμένα, για $\epsilon >0$ υπάρχει Μ τέτοιο ώστε για $x \ge M$ ισχύει

$\displaystyle \left|\left (1+\frac{1}{x}\right)^{x} -e\right| < \epsilon}$ .

Επιλέγουμε τώρα n_0

τέτοιο ώστε για $n\ge n_0$ ισχύει a_n > M

και λοιπά (ρουτίνα από δω και πέρα).

Μ.

Mulder · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Επιλέγουμε τώρα τέτοιο ώστε για $n\ge n_0$ ισχύει και λοιπά (ρουτίνα από δω και πέρα).

Μ.

Σωστά, αρα και $\displaystyle \left|\left (1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} -e\right| < \epsilon},\forall n\geq n_0$

Υπάρχει περίπτωση να το δείξουμε και χρησιμοποιώντας μονό την ακολουθία $(1+\frac{1}{n})^n \to e$ , που είναι μονό για φυσικούς αριθμούς; (ρωτάν γιατί είναι σαν άσκηση σε ένα βιβλίο για ακολουθίες στο οποίο δεν έχουν αναφερθεί πουθενά πραγματικές συναρτήσεις)

#4

Mulder έγραψε: Υπάρχει περίπτωση να το δείξουμε και χρησιμοποιώντας μόνο την ακολουθία $(1+\frac{1}{n})^n \to e$ , που είναι μονό για φυσικούς αριθμούς;

Βεβαίως. Ακριβώς η ίδια απόδειξη περνάει, με μόνη διαφορά ότι τώρα το

που προέκειψε είναι τώρα φυσικός.

Μ.

Mulder · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Βεβαίως. Ακριβώς η ίδια απόδειξη περνάει, με μόνη διαφορά ότι τώρα το που προέκειψε είναι τώρα φυσικός.

Μ.

Σίγουρα ; Τότε και το

θα είναι φυσικός και πως θα βάλουμε στη θέση του το a_n

που ανήκει στο

;

(σόρυ για τον τονισμό πριν)

#6

Mulder έγραψε:
Σίγουρα ; Τότε και το θα είναι φυσικός και πως θα βάλουμε στη θέση του το που ανήκει στο ;

H $\left ( 1 + \frac{1}{x} \right )^x$ είναι αύξουσα και φραγμένη από το e. Οπότε αν αν, π.χ. $e - \epsilon < \left ( 1 + \frac{1}{M} \right )^ M < e$ τότε για a_n > M

έχουμε $e - \epsilon < \left ( 1 + \frac{1}{M} \right )^ M < \left ( 1 + \frac{1}{a_n} \right )^ {a_n} < e$

M.

Mulder · #7

οκ,οπότε αν κατάλαβα καλά χρησιμοποιείς τη συνεπαγωγή: η $a_x=(1+\frac{1}{x})^x$ είναι αύξουσα στο

και άρα αν

κάποιος φυσικός τότε $(\forall n\in N$ με n>m

είναι

${\Rightarrow}$ $(\forall y\in R$ με y>m

είναι

;

#8

Mulder έγραψε:οκ,οπότε αν κατάλαβα καλά χρησιμοποιείς τη συνεπαγωγή: η $a_x=(1+\frac{1}{x})^x$ είναι αύξουσα στο και άρα αν κάποιος φυσικός τότε $(\forall n\in N$ με είναι ${\Rightarrow}$ $(\forall y\in R$ με είναι ;

Όχι! Υπάρχουν διάφορα λάθη στις δύο γραμμές που γράφεις.

1) Χρειαζόμαστε την $(1+\frac{1}{x})^x$ αύξουσα στο R, όχι μόνο στο N.

2) ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ το: αν

κάποιος φυσικός τότε $(\forall n\in N$ με n>m

είναι

.

Παρακαλώ μελέτησε με προσοχή όλα όσα έχω γράψει παραπάνω, για να μην γίνεται ατέρμων διάλογος εδώ.
Αν μείνεις ακόμα με απορίες, μετά την προσεκτική μελέτη εννοώ, εδώ είμαστε να σε ξαναβοηθήσουμε. Βοήθα όμως και συ.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Mulder · #9

ναι,φυσικά και δεν ισχύει. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι χρειαζόμαστε τη πραγματική συνάρτηση $(1+\frac{1}{x})^x$ για να δείξουμε το ζητούμενο , δηλαδή δε μπορεί να δειχθεί αποκλειστικά από την ακολουθία $(1+\frac{1}{n})^n$ όπως λες.

Για το 2),φαντάζομαι ότι εννοείς ότι έπρεπε να γράψω γνησίως αύξουσα αντι για αύξουσα(;)

#10

Mulder έγραψε:
Για το 2),φαντάζομαι ότι εννοείς ότι έπρεπε να γράψω γνησίως αύξουσα αντι για αύξουσα(;)

Όχι δεν εννοώ αυτό. Εννοώ ότι η ακολουθία μπορεί να τείνει στο άπειρο αλλά να μην έχει κανένα είδος μονοτονίας. Π.χ. η a_n= n+2(-1)^n

είναι

Μ.

e

e

Re: e

Re: e

Re: e

Re: e

Re: e

Re: e

Re: e

Re: e

Re: e

Μέλη σε σύνδεση