Ακολουθία (11)

#1

Δίνεται ακολουθία $\displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1}$ , τέτοια ώστε $a_1\in (0,1)$ και $\displaystyle {a_{n+1}=a_n- \sin ^2a_n, \ n\geq 1}$ .

a) Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle {\lim _{n \rightarrow \infty} na_n.}$

b) Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι

για τους οποίους η ακολουθία $b_n=a_1^p+a_2^p+...+a_n^p, \ n \geq 1$ συγκλίνει.

#2

$\displaystyle{a_{n+1}-a_n=-sin^2(a_n)\le 0,\forall n\in N^* }$ άρα η ακολουθία είναι φθίνουσα.[1]

$\displaystyle{0<a_1<1<\pi /2}$
έστω $\displaystyle{0<a_k<1<\pi /2}$
τότε $\displaystyle{ 0<sin^2(a_k)<sin(a_k)<a_k \Rightarrow 0<a_{k+1} }$ , και λόγω της [1] $\displaystyle{ a_{k+1}\le a_k<1<\pi /2}$
άρα $\displaystyle{a_n\in (0,1),\forall n \in N^*}$ [2]

άρα η ακολουθία συγκλίνει σε κάποιο $\displaystyle{x\in [0,1) : x=x-sin^2x \Rightarrow a_n\to 0^+ \Rightarrow 1/a_n \to +\infty }$ και επιπλέον η $\displaystyle{1/a_n}$ είναι αυξουσα

Ακόμη $\displaystyle{na_n=\frac{n}{1/a_n}}$
οπότε από το λήμμα Stolz αρκεί να βρούμε το
$\displaystyle{lim(\frac{n+1-n}{1/a_{n+1}-1/a_n})=lim(\frac{a_{n+1}a_n}{a_{n}-a_{n+1}})=lim(\frac{a_{n+1}a_n}{sin^2(a_n)})=lim(\frac{\frac{a_{n+1}}{a_n}}{\frac{sin^2(a_n)}{a_n^2}}})$

όιμως $\displaystyle{\frac{sin^2(a_n)}{a_n^2}\to 1^2=1}$ αφού $\displaystyle{a_n\to 0}$
$\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-sin(a_n)\frac{sin(a_n)}{a_n}\to 1-sin(0).1=1}$

άρα $\displaystyle{na_n\to 1}$

#3

Για το Β ερώτημα

Από το Α δείξαμε οτι $\displaystyle{na_n\to 1}$ άρα για ε=1/2 στον εψιλοντικό ορισμό παίρνουμε $\displaystyle{1/2<na_n<3/2}$ ή $\displaystyle{\frac{A}{n^p}<a_n^p<\frac{B}{n^p}}$ όπου Α,Β θετικοί σταθεροί αριθμοί
η σειρα $\displaystyle{\sum_{1}^{\infty}{1/n^p}}$ συγκλινει αν $\displaystyle{p\ge 2}$ και αποκλίνει αν $\displaystyle{p=1}$
Το ίδιο και η $\displaystyle{b_n}$ από το κριτήριο σύγκρισης

Ακολουθία (11)

Ακολουθία (11)

Re: Ακολουθία (11)

Re: Ακολουθία (11)

Μέλη σε σύνδεση