Βοήθεια σε άσκηση

lowbaper92 · #1

"Θεωρούμε την επιφάνεια $\displaystyle{ S:x^{2}+y^{2}=4 }$ για $\displaystyle{ 1\leq z\leq 5 }$ και $\displaystyle{ \vec{F}=\left(yz,-xz,xyz \right) }$
Παίρνοντας ως θετική όψη της κυλινδρικής επιφάνειας την εξωτερική, να επαληθευθεί το θεώρημα του Stokes."

Ποια θα θεωρήσουμε καμπύλη

στο επικαμπύλιο?

Και μια άσχετη απορία: Ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(x,y,z)

τί εκφράζει γεωμετρικά?

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Ωmega Man · #2

Έχουμε $\displaystyle{\displaystyle{\bf S:x^2+y^2=4}$ και $\displaystyle{\bf \overrightarrow{\textrm{F}}(x,y,z)=(yz,-xz,xyz)}$ . Θα υπολογίσουμε χωριστά τα παρακάτω και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ $\displaystyle{\bf \iint\limits_{S}\textrm{curl}\overrightarrow{\textrm{F}}\;\texttt{d}\overrightarrow{S}}$

$\displaystyle{\rule{600pt}{1pt}}$

Έχουμε,
$\displaystyle{\bf \textrm{curl}(\overrightarrow{\rm F})=\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{\rm F}=\left|\begin{matrix}\bf i &\bf j &\bf k\\\bf \frac{\partial}{\partial x}&\bf \frac{\partial}{\partial y}&\bf \frac{\partial}{\partial z}\\\bf yz &\bf -xz &\bf xyz\\\end{matrix}\right|=<x(1+z),y(1-z),-2z)>$ και έτσι λοιπόν έχουμε να υπολογίσουμε το $\displaystyle{\bf \iint\limits_{S}<x(1+z),y(1-z),-2z)>\;\texttt{d}\overrightarrow{S}}$ .

Στην συνέχεια ορίζουμε $\displaystyle{\bf \sigma:D\rightarrow\mathbb{R}^{3}}$ με $\displaystyle{\bf D:[0,2\pi]\times [1,5]}$ και $\displaystyle{\bf \sigma(t,z)=<2\cos(t),2\sin(t),z>}$ , για την οποία έχουμε $\displaystyle{\bf \sigma_{t}=<-2\sin(t),2\cos(t),0>}$ και $\displaystyle{\bf \sigma_{z}=<0,0,1>}$ και με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε το κάθετο διάνυσμα $\displaystyle{\bf \sigma_{t}\times\sigma_{z}=<2\cos(t),2\sin(t),0>}$ και το μέτρο του $\displaystyle{\bf||\sigma_{t}\times\sigma_{z}||=2}$ .

Έτσι λοιπόν,
$\displaystyle{\bf \iint\limits_{S}<x(1+z),y(1-z),-2z)>\;\texttt{d}\overrightarrow{S}=\frac{1}{2}\iint\limits_{D}<2\cos(t),2\sin(t),0>\cdot<2\cos(t),2\sin(t),0>^{T}\;\texttt{d}A=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{5}\int\limits_{0}^{2\pi}4\;\texttt{d}t\;\texttt{d}z=16\pi}$ .

Για το άλλο σκέλος της απόδειξης πρέπει να δούμε ποιες είναι οι καμπύλες που πρέπει να πάρουμε, κοιτάζοντας το παρακάτω σχήμα βλέπουμε ότι είναι οι δύο κύκλοι με το κίτρινο και με την θετική φορά. (στο σχήμα φαίνεται και ο κύλινδρος μέσα στο πεδίο της F)
[attachment=0]stokes.gif[/attachment]

Έστω $\displaystyle{\bf C_{1}}$ ο κάτω κύκλος, έχουμε λοιπόν $\displaystyle{\bf \oint\limits_{C_{1}}\overrightarrow{\rm F}\;\texttt{d}s=-\int\limits_{0}^{2\pi}<2\sin(t),-2\cos(t),4\cos(t)\sin(t)>\cdot<-2\sin(t),2\cos(t),0>^{T}\;\texttt{d}t=4\int\limits_{0}^{2\pi}\;\texttt{d}t=8\pi}$ , με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε και το άλλο και έτσι πάλι το αποτέλεσμα είναι $\displaystyle{\bf 2 \cdot 8\pi=16\pi}$ .