Όριο μέσω ολοκληρώματος

G.Tsikaloudakis · #1

Να υπολογιστεί το όριο της ακολουθίας:

$\alpha _\nu = \frac{1}{{\nu + 1}} + \frac{1}{{\nu + 2}} + ... + \frac{1}{{2\nu }}$

kwstas12345 · #2

Ζητάμε το $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{n+i}} \right)$ . Όμως το άθροισμα αυτό είναι το άθροισμα Rieman της συναάρτησης $\displaystyle \frac{1}{x+1}$ από

εώς

άρα το ζητούμενο όριο ισούται με $\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x}}dx=\ln 2$

#3

Χάριν ποικιλίας, γράφω άλλους δύο τρόπους. Σπεύδω όμως να τονίσω ότι είναι γνωστοί και δυσκολότεροι από τον προηγούμενο, ο οποίος είναι ο στάνταρ.

1) Είναι γνωστό ότι αν $\displaystyle{ s_n = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + ... + \frac {1}{n}$ , τότε $s_n - \ln n \rightarrow \gamma$ όπου $\gamma$ η σταθερά Euler. Έτσι

$\displaystyle{ \frac {1}{n+1} + \frac {1}{n+2} + ... + \frac {1}{n+n} = s_{2n}-s_n = \left(s_{2n}- \ln (2n) \right) - \left(s_{n}- \ln (n) \right) + \ln 2 \rightarrow \gamma - \gamma + \ln 2 = \ln 2$

2) Είναι γνωστό (βλέπε εδώ) ότι η σειρά Taylor του $\ln (1+x)$ συγκλίνει για $-1 < x \le 1$ και δίνεται από

$\displaystyle{ \ln (1+x) = x- \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3} - \frac {x^4}{4 } + ...$ .

H τελευταία για x=1

δίνει

$\displaystyle{ \ln 2 = 1- \frac {1}{2} + \frac {1}{3} - \frac {1}{4 } + ...$ (*).

Επίσης, εύκολα αποδεικνύεται (γνωστό άλλωστε) ότι $\displaystyle{ \frac {1}{n+1} + \frac {1}{n+2} + ... + \frac {1}{2n} = 1- \frac {1}{2} + \frac {1}{3} - \frac {1}{4 } + ... - \frac {1}{2n }$ . Παίρνοντας όριο, λόγω της (*) συγκλίνει στο $\ln 2$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Όριο μέσω ολοκληρώματος

Όριο μέσω ολοκληρώματος

Re: Όριο μέσω ολοκληρώματος

Re: Όριο μέσω ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση