Όριο γινομένου (14)

#1

Έστω $a_{1},\ldots,a_{k}$ πραγματικοί αριθμοί. Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο : $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left[\left(\prod_{i=1}^{k}(n-a_{i})\right)^{1/k}-n\right]}$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $a_{1},\ldots,a_{k}$ πραγματικοί αριθμοί. Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο : $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left[\left(\prod_{i=1}^{k}(n-a_{i})\right)^{1/k}-n\right]}$ .

$\displaystyle{\left(\prod_{i=1}^{k}(n-a_{i})\right)^{\frac{1}{k} }-n} = n\left(\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{a_{i}}{n})\right)^{\frac{1}{k}}-n =$

$\displaystyle{=n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{k}\frac{a_{i}}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) -n=$

$\displaystyle{=-\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{a_{i}}{k} + O\left(\frac{1}{n}\right)\right) \to -\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k}{a_{i}}$

Φιλικά,

Μιχάλης

Όριο γινομένου (14)

Όριο γινομένου (14)

Re: Όριο γινομένου (14)

Μέλη σε σύνδεση