μονοτονία ακολουθίας

#1

Έστω η ακολουθία $({\alpha_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}}$ , μέ $\alpha_{1}=0$ , $\alpha_{2}=1$ και $\alpha_{\nu+2}=\dfrac{\nu\,\alpha_{\nu+1}+\alpha_{\nu}}{\nu+1}$ .
Να εξετασθεί ως προς την μονοτονία.

#2

grigkost έγραψε:Έστω η ακολουθία $({\alpha_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}}$ , μέ $\alpha_{1}=0$ , $\alpha_{2}=1$ και $\alpha_{\nu+2}=\dfrac{\nu\,\alpha_{\nu+1}+\alpha_{\nu}}{\nu+1}$ .
Να εξετασθεί ως προς την μονοτονία.

Θα δείξουμε επαγωγικά ότι $a_1<a_3<a_5 < a_7 <\cdots <a_8<a_6<a_4<a_2$ . Δηλαδή οι περιττής τάξης όροι αυξάνουν, οι άρτιας φθίνουν και κάθε όρος περιττής τάξης είναι μικρότερος από κάθε όρο άρτιας.

Πράγματι, για τους a_1, a_2, a_3, a_4

κάνουμε απευθείας έλεγχο κοιτώντας τις τιμές τους.

Για το επαγωγικό βήμα με υπόθεση ότι ισχύουν τα παραπάνω μέχρι και τον $a_{2n+2}$ έχουμε

$\displaystyle a_{2n+3} = \frac{(2n+1)a_{2n+2} + a_{2n+1}}{2n+2} > \frac{(2n+1)a_{2n+1} + a_{2n+1}}{2n+2}= a_{2n+1}$ και

$\displaystyle a_{2n+3} = \frac{(2n+1)a_{2n+2} + a_{2n+1}}{2n+2} < \frac{(2n+1)a_{2n+1} + a_{2n+2}}{2n+2}= a_{2n+2}$

Όμοια για τον επόμενο άρτιο δείκτη με μόνη διαφορά ότι οι ανισότητες είναι ανάποδα.

Μένει να αποδείξουμε ότι $a_{2n+1}< a_{2m} , \forall m,n$ . Πράγματι από τα παραπάνω

$a_{2n+1}< a_{2n+2m+1}< a_{2n+2m}< a_{2m}$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Να ευχαριστήσω τον Μιχάλη για την μεταμεσονύκτια ενασχόλησή του και την όμορφη λύση που έδωσε.
Ακολουθεί μιά κάπως διαφορετική λύση.

$\color{grey}\bullet$ $\alpha_{2\nu+2}-\alpha_{2\nu+1}=\displaystyle\frac{2\nu\,\alpha_{2\nu+1}+\alpha_{2\nu}}{2\nu+1}-\frac{({2\nu-1})\,\alpha_{2\nu}+\alpha_{2\nu-1}}{2\nu}=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\bigl[{({2\nu})^2\,\alpha_{2\nu+1}+2\nu\,\alpha_{2\nu}-({4\nu^2-1})\,\alpha_{2\nu}-({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu-1}}\bigr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\Bigl[{({2\nu})^2\,\frac{({2\nu-1})\,\alpha_{2\nu}+\alpha_{2\nu-1}}{2\nu}+({1+2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu}-({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu-1}}\Bigr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\bigl[{({4\nu^2-2\nu})\,\alpha_{2\nu}+2\nu\,\alpha_{2\nu-1}+({1+2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu}-({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu-1}}\bigr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\bigl({\alpha_{2\nu}-\alpha_{2\nu-1}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\biggl[{\frac{1}{({2\nu-1})\,({2\nu-2})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-2}-\alpha_{2\nu-3}}\bigr)}\biggr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu\,({2\nu-1})\,({2\nu-2})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-2}-\alpha_{2\nu-3}}\bigr)=\ldots=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu\,({2\nu-1})\cdot\ldots\cdot3\cdot2}\,\bigl({\alpha_{2}-\alpha_{1}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+1})!}\,({1-0})=\frac{1}{({2\nu+1})!}$ .

$\color{grey}\bullet$ $\alpha_{2\nu+3}-\alpha_{2\nu+2}=\displaystyle\frac{({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu+2}+\alpha_{2\nu+1}}{2\nu+2}-\frac{2\nu\,\alpha_{2\nu+1}+\alpha_{2\nu}}{2\nu+1}=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\bigl[{({2\nu+1})^2\,\alpha_{2\nu+2}+({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu+1}-({4\nu^2+4\nu})\,\alpha_{2\nu+1}-({2\nu+2})\,\alpha_{2\nu}}\bigr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\Bigl[{({2\nu+1})^2\,\frac{2\nu\,\alpha_{2\nu+1}+\alpha_{2\nu}}{2\nu+1}+({1-2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu+1}-({2\nu+2})\,\alpha_{2\nu}}\Bigr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\bigl[{({4\nu^2+2\nu})\,\alpha_{2\nu+1}+({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu}+({1-2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu+1}-({2\nu+2})\,\alpha_{2\nu}}\bigr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\bigl({\alpha_{2\nu+1}-\alpha_{2\nu}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\biggl[{\frac{1}{2\nu\,({2\nu-1})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-1}-\alpha_{2\nu-2}}\bigr)}\biggr]=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})\,2\nu\,({2\nu-1})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-1}-\alpha_{2\nu-2}}\bigr)=\ldots=$

$\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})\cdot\ldots\cdot3}\,\bigl({\alpha_{3}-\alpha_{2}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})\cdot\ldots\cdot3}\,\Bigl({\frac{1}{2}-1}\Bigl)=-\frac{1}{({2\nu+2})!}$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η $({\alpha_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}}$ δεν είναι μονότονη και ότι, γιά κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ , ισχύει $|{\alpha_{\nu+2}-\alpha_{\nu+1}}|=\dfrac{1}{({\nu+1})!}\,.\quad\square$

#4

Καλημέρα
'Ενα γεωμετρικό επιχείρημα: Από την αναδρομική σχέση φαίνεται πως
$\alpha _{\nu +2}=\left( 1-\lambda _{\nu }\right) \alpha _{\nu +1}+\lambda _{\nu }\alpha _{\nu },\,\ \ \ \ \ \ \ \lambda _{\nu }\in \left( 0,1\right)$
πράγμα που εγγυάται ότι κάθε όρος είναι μεταξύ των δύο προηγουμένων του και επομένως η ακολουθία δε μπορεί να είναι μονότονη.

: sequence.png (7.28 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Μαυρογιάννης

μονοτονία ακολουθίας

μονοτονία ακολουθίας

Re: μονοτονία ακολουθίας

Re: μονοτονία ακολουθίας

Re: μονοτονία ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση