Αναδρομική ακολουθία (1)

#1

Έστω

και $x_{n+1}=2x_{n}-cx_{n}^2$ με $0<x_{0}<1/c$ . Βρείτε τον τύπο της ακολουθίας.

AlexandrosG · #2

Γειά σου Αναστάση.

Ωραία άσκηση.

Γράφω μια λύση.

Θέτουμε στην αρχή $\displaystyle{x_n=\frac{1-\cos y_n}{c}}$ και αντικαθιστούμε στην αναδρομική σχέση. Παίρνουμε ότι $\displaystyle{\cos y_{n+1}=\cos ^2 y_n}$ .

Άρα τελικά

$\displaystyle{x_n=\frac{1-(1-cx_0)^{2^n}}{c}}$ .

#3

AlexandrosG έγραψε:Γειά σου Αναστάση.

Ωραία άσκηση.

Γράφω μια λύση.

Θέτουμε στην αρχή $\displaystyle{x_n=\frac{1-\cos y_n}{c}}$ και αντικαθιστούμε στην αναδρομική σχέση. Παίρνουμε ότι $\displaystyle{\cos y_{n+1}=\cos ^2 y_n}$ .

Άρα τελικά

$\displaystyle{x_n=\frac{1-(1-cx_0)^{2^n}}{c}}$ .

Καλησπέρα.
Βλέποντας τη λύση αυτομάτως μου δημιουργήθηκαν τα ερώτηματα:
Μα πως σκέφτηκε AlexandrosG το συγκεκρμένο μετασχηματισμό;
Μαγικό μεν αποτελεσματικό δε!
Επιπλέον η λύση θεωρείται πλήρης;
Αυτά εν μέσω ενοχλητικού ανέμου και θερινής ραστώνης.
Θα είμαι υπόχρεος αν διαφωτιστώ!
Καλό απόγευμα!

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω και $x_{n+1}=2x_{n}-cx_{n}^2$ με $0<x_{0}<1/c$ . Βρείτε τον τύπο της ακολουθίας.

Λίγο ευκολότερα:

Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle cx_{n+1}-1 = -(cx_n-1)^2$ οπότε αναδρομικά $\displaystyle cx_{n+1}-1 = -(cx_0-1)^{2^{n+1}}$ .

Άρα $\displaystyle x_{n+1} =\frac{1 -(cx_0-1)^{2^{n+1}}}{c}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

chris_gatos έγραψε:
AlexandrosG έγραψε:
<...>
Θέτουμε στην αρχή $\displaystyle{x_n=\frac{1-\cos y_n}{c}}$ <...>
<...>
Μα πως σκέφτηκε AlexandrosG το συγκεκρμένο μετασχηματισμό;
Μαγικό μεν αποτελεσματικό δε!
Επιπλέον η λύση θεωρείται πλήρης;
Αυτά εν μέσω ενοχλητικού ανέμου και θερινής ραστώνης.
Θα είμαι υπόχρεος αν διαφωτιστώ!

Χμμμμ.

Το συνημίτονο δεν χρειάζεται. Είναι πλασματικό.

Ο σωστός μετασχηματισμός είναι $x_n = \frac{1-y_n}{c}$ , που δίνει $y_{n+1}=y_n^2$ .

M.

AlexandrosG · #6

Έχετε δίκιο, μεγάλη χαζομάρα!

Με μπέρδεψε το διάστημα (0,1)!

#7

Το μετασχηματισμό που λέει ο Μιχάλης χρησιμποποίησα και γω. Και για να απαντήσω και στο ερώτημα του Χρήστου για το πώς προκύπτει: Αρχικά έδειξα ότι η $x_{n}$ αυξάνει στο 1/c

και μετά έκανα το μετασχηματισμό για να έχω μια ακολουθία που πάει στο

. Νομίζω καθιστά το πρόβλημα ευκολότερα διαχειρίσιμο μια τέτοια κατάσταση.

#8

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Το μετασχηματισμό που λέει ο Μιχάλης χρησιμποποίησα και γω. Και για να απαντήσω και στο ερώτημα του Χρήστου για το πώς προκύπτει: Αρχικά έδειξα ότι η $x_{n}$ αυξάνει στο και μετά έκανα το μετασχηματισμό για να έχω μια ακολουθία που πάει στο . Νομίζω καθιστά το πρόβλημα ευκολότερα διαχειρίσιμο μια τέτοια κατάσταση.

Οκ έτσι, αλλά το μεσημέρι με αρκετή δόση...ραστώνης μου φάνηκε περίεργος ο μετασχηματισμός με το συνημίτονο,εξ'ου και τα ερωτήματα!Δεν είχα ούτε το κουράγιο αλλά κυρίως ούτε τη διάθεση να επαληθεύσω τα αποτελέσματα.
Καλό απόγευμα.

Αναδρομική ακολουθία (1)

Αναδρομική ακολουθία (1)

Re: Αναδρομική ακολουθία

Re: Αναδρομική ακολουθία

Re: Αναδρομική ακολουθία

Re: Αναδρομική ακολουθία

Re: Αναδρομική ακολουθία

Re: Αναδρομική ακολουθία

Re: Αναδρομική ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση