Laurent.

Ωmega Man · #1

Να βρεθεί το ανάπτυγμα Laurent της $\displaystyle\frac{z^2+1}{(z^3+1)^2}$ για |z|>1.

#2

Ωmega Man έγραψε:Να βρεθεί το ανάπτυγμα Laurent της $\displaystyle \frac{z^2+1}{(z^3+1)^2}$ για |z|>1.

Mία μέθοδος είναι: Για ευκολία θα βάλουμε $z=\frac {1}{w}$ και δουλεύουμε με το

, όπου

.

H παράσταση ισούται $\displaystyle \frac{z^2+1}{(z^3+1)^2} = \frac{w^2+w^4}{(1+w^3)^2}$ .

Το $\displaystyle \frac{1}{(1+w^3)^2}$ έχει εύκολο ανάπτυγμα, με θετικές μόνο δυνάμεις του

. Πράγματι, από την γεωμετρική πρόοδο έχουμε $\displaystyle \frac {1}{1+x} = \sum _{k=0}^{\infty} (-x)^k$ . Παραγωγίζοντας θα βρούμε (το γνωστό άλλωστε) $\displaystyle \frac {1}{(1+x)^2} = -\sum _{k=0}^k k(-x)^k$ που για x=w^3

έχουμε το ζητούμενο. Πολλαπλασιάζουμε τώρα με τον αριθμητή w^2+w^4

και μαζεύουμε (απλό) ομοειδείς όρους (είναι δύο όροι κάθε φορά). Αν έκανα σωστά τις πράξεις, θα βρούμε

$\displaystyle \frac{w^2+w^4}{(1+w^3)^2} =w^2+w^4-2w^5-2w^7+3w^8+3w^{10} - 4w^{11} - 4w^{13}+...=$

$\displaystyle = \sum _{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}k(w^{3k-1}+w^{3k+1}), \, |w|<1$ και άρα

$\displaystyle \frac{z^2+1}{(z^3+1)^2} = \sum _{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}k\left( \frac {1}{z^{3k-1}}+\frac {1}{z^{3k+1}}\right), \, |z|>1$

Φιλικά,

Μιχάλης

Ωmega Man · #3

Θέλουμε το ανάπτυγμα Laurent στο άπειρο για την $\bf \displaystyle f(z)=\frac{z^2+1}{(z^3+1)^2}$ με $\bf |z|>1$ .

[attachment=0]inf.gif[/attachment]

Έστω $\displaystyle{\bf w=\frac{1}{z}}$ , τότε $\displaystyle{\bf |w|<1}$ και

$\bf\displaystyle\frac{\frac{1}{w^2}+1}{\left(\frac{1}{w^3}+1\right)^{2}}=\frac{\frac{w^2+1}{w^2}}{\frac{(w^2+1)^2}{w^6}}=\frac{w^4+w^6}{(w^3+1)^{2}}$ ,

ξέρουμε ότι για |x|<1 $\bf\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}(-x)^k=\frac{1}{1+x}\overset{x=w^3}{\Longrightarrow}\,\sum_{k=0}^{+\infty}(-w)^{3k}=\frac{1}{1+w^3}\Rightarrow \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k}w^{3k}=\frac{1}{1+w^3}$

παραγωγίζοντας την τελευταία

$\displaystyle\bf\frac{d}{dw}\left[\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k}w^{3k}\right]=\frac{d}{dw}\left[\frac{1}{1+w^{3}}\right]\Rightarrow \sum_{k=0}^{+\infty}k(-1)^{k+1}w^{3k-1}=\frac{w^2}{(1-w^3)^2}$

και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της τελευταίας ισότητας με $\bf w^2+w^4$

$\displaystyle\bf\frac{w^4+w^6}{(w^3+1)^2}=\sum_{k=0}^{+\infty}k(-1)^{k+1}w^{3k-1}(w^2+w^4)=\sum_{k=0}^{+\infty}k(-1)^{k+1}\left(w^{3k+1}+w^{3k+3}\right)$

κάνοντας την αντικατάσταση w=1/z τελικά παίρνουμε $\bf\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}k(-1)^{k+1}\left(\frac{1}{z^{3k+1}}+\frac{1}{z^{3k+3}}\right)$

.

Laurent.

Laurent.

Re: Laurent.

Re: Laurent.

Μέλη σε σύνδεση