Όρια με ολοκληρώματα

#41

Ένα αρθράκι (σε pdf και σε doc) του Kent Merryfield (mathlinks) για τα σύμβολα του Landau μπορεί να βρει κανείς εδώ.

Χρήσιμο είναι ακόμα και το αρθράκι εδώ, όπως επίσης και

η καταχώρηση του Wikipedia εδώ.

(Δείτε και εδώ)

mathxl · #42

mathxl έγραψε:Ας υπολογιστεί και αυτό
$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x|\cos (2n+1)x|\ dx$

Αυτό είναι από 2009 Ritsumeikan University
όσο για το (3) μία σκέψη-μπορεί να είναι και μαθηματική βλακεία- αλλά παρατήρησα ότι δίνει το ίδιο τελικό
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_0^1 f (\frac{x}{n})\,dx = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_0^1 {x \cdot \frac{{f\left( {\frac{x}{n}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\frac{x}{n} - 0}}dx} = \int\limits_0^1 {x \cdot f'\left( 0 \right)dx} = \frac{1}{2} \cdot f'\left( 0 \right)}$

#43

mathxl έγραψε:
mathxl έγραψε:Ας υπολογιστεί και αυτό
$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x|\cos (2n+1)x|\ dx$
Αυτό είναι από 2009 Ritsumeikan University
όσο για το (3) μία σκέψη-μπορεί να είναι και μαθηματική βλακεία- αλλά παρατήρησα ότι δίνει το ίδιο τελικό
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_0^1 f (\frac{x}{n})\,dx = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_0^1 {x \cdot \frac{{f\left( {\frac{x}{n}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\frac{x}{n} - 0}}dx} = \int\limits_0^1 {x \cdot f'\left( 0 \right)dx} = \frac{1}{2} \cdot f'\left( 0 \right)}$

Βασίλη δεν είναι κακή σκέψη. Θέτοντας

$\displaystyle{g_{n}(x)=nf(x/n)=x \cdot \frac{{f\left( {\frac{x}{n}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\frac{x}{n} - 0}}}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{g_{n}(x)\stackrel{\kappa.\sigma.}{\longrightarrow}\begin{cases}f(0)=0 & x=0 \\ xf{'}(0) & x\in(0,1]\end{cases}}$ . Το μόνο κακό είναι ότι η $g_{n}$ δεν κυριαρχείται για να εφαρμόσουμε ΘΚΣ. Ίσως όμως να σώζεται με καμμια αλλαγή μεταβλητής όπως στο άλλο που πρότεινε ο Σιλουανός. Θα το κοιτάξω αύριο,

mathxl · #44

Aν η συνάρτηση $f_{n}(x)\ (n = 1,2,\cdots)$ ορίζεται ως εξής $\displaystyle{ f_{1}(x) = x,\ f_{n+1}(x) = 2x^{n+1}-x^{n}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f_{n}(t)\ dt\ \ (n = 1,2,\cdots) }$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{n}\left(1+\frac{1}{2n}\right) }$

AlexandrosG · #45

mathxl έγραψε:Aν η συνάρτηση $f_{n}(x)\ (n = 1,2,\cdots)$ ορίζεται ως εξής $\displaystyle{ f_{1}(x) = x,\ f_{n+1}(x) = 2x^{n+1}-x^{n}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f_{n}(t)\ dt\ \ (n = 1,2,\cdots) }$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{n}\left(1+\frac{1}{2n}\right) }$

Ωραία και πρωτότυπη.

Έχουμε

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}f_{n}\left(1+\frac{1}{2n}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(2\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n-\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n-1}+\frac{1}{2}\int_0^1f_{n-1}(t)dt\right)=2\sqrt{e}-\frac{\sqrt{e}}{1+0}+\frac{1}{2}a_n=\sqrt{e}+\frac{1}{2}\lim_{n\to+\infty}a_{n-1}$

Άρκεί να βρούμε το όριο της a_n

. Ολοκληρώνουμε την δοσμένη από

έως

και βρίσκουμε την αναδρομική σχέση

$\displaystyle{a_{n+1}=\frac{2}{n+2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}a_n,a_1=\frac{1}{2}}$

Βρίσκουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα και θετική. Άρα με $n \to + \infty$ η a_n

τείνει στο

.

Άρα το ζητούμενο όριο είναι $\sqrt{e}$ .

mathxl · #46

το θέμα είναι από 1992 Toyama University

#47

Συγκεκριμένα μπορούμε να βρούμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f_{n-1}(x)\,dx=\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{n}}}$ , άρα

$\displaystyle{f_{n}(1+1/2n)=(1+1/2n)^{n-1}(1+1/n)+1/n-1/2^{n}\to\sqrt{e}}$ , όπως είπε ο Αλέξανδρος.

mathxl · #48

Έστω η ολοκληρώσιμη συνάρτηση f:[0,1]->R, παραγωγίσιμη στο 1 ,f(1)=0. Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^2}\int_0^1 {{x^n}} f(x)dx = - {f^\prime }(1)}$

#49

mathxl έγραψε:Έστω η ολοκληρώσιμη συνάρτηση f:[0,1]->R, παραγωγίσιμη στο 1 ,f(1)=0. Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^2}\int_0^1 {{x^n}} f(x)dx = - {f^\prime }(1)}$

Έχω κάνει κάτι αλλά δεν ξέρω αν μπορεί να συνεχίσει από εκεί και πέρα.

$\displaystyle{n^{2}\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\,dx\stackrel{x=y^{1/n}}{=}n\int_{0}^{1}y^{1/n}f(y^{1/n})\,dy}$ $\boxed{*}$ .

Όμως από Taylor

, για μεγάλα

είναι $\displaystyle{f(y^{1/n})=f\big(1-(1-y^{1/n})\big)=f(1)-f{'}(1)(1-y^{1/n})+o(1-y^{1/n})=-f{'}(1)(1-y^{1/n})+o(1-y^{1/n})}$ , άρα

$\displaystyle{\boxed{*}=\left(-n f{'}(1)\int_{0}^{1}y^{1/n}-y^{2/n}\,dy\right)+\left(n\int_{0}^{1}y^{1/n}o(1-y^{1/n})\,dy\right):=I_{1}+I_{2}}$ .

Τώρα $\displaystyle{I_{1}=-f{'}(1)\frac{n^{2}}{n^{2}+3n+2}\to-f{'}(1)}$ .

Με το $\displaystyle{I_{2}}$ όμως τι κάνουμε;

Σημειωτέον ότι $\displaystyle{n y^{1/n}(1-y^{1/n})\stackrel{\kappa.\sigma.}{\longrightarrow}\begin{cases}0 & x=0,1 \\ -\ln y & y\in(0,1)\end{cases}}$ , κάτι που με κάνει να υποπτεύομαι ότι δεν μπορεί να προχωρήσει η λύση.

Αν κάποιος συνεχίσει από αυτό το σημείο παρακαλώ εκ των προτέων να είναι λίγο επεξηγηματικός για να καταλάβω το χειρισμό του "

"

mathxl · #50

Η άσκηση είναι από Dan Stefan Marinescu,Viorel Cornea Shortlist ONM 2010 pb 23 και αναπάντητη
Μια καινούργια. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)|\sin nx|dx} }$
με f συνεχή.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathxl · #51

Και ακόμη ένα. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_n^{n + 1} {\left\{ {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right\}} dx}$
(τα άγκιστρα είναι για το κλασματικό μέρος ίσως το έχω ξαναβάλει)

mathxl · #52

Και ένα ακόμη αναπάντητο

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_n^{n + 1} ({x^2}\sin \frac{1}{x} - ax}) dx$
Από

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#53

mathxl έγραψε:Και ένα ακόμη αναπάντητο

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_n^{n + 1} ({x^2}\sin \frac{1}{x} - ax}) dx$
Από
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
C. Evaluare in Educatie, 2009 και αυτό ίσως το έχω ξαναδώσει

Αυτό είναι εδώ. Και το άλλο το έχεις ξαναβάλει αλλά δεν έχει απαντηθεί πλήρως. Θα το κοιτάξω αύριο.

#54

mathxl έγραψε:Έστω η ολοκληρώσιμη συνάρτηση f:[0,1]->R, παραγωγίσιμη στο 1 ,f(1)=0. Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^2}\int_0^1 {{x^n}} f(x)dx = - {f^\prime }(1)}$

Ορίζω $g:[0,1] \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle{g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)}{1-x} & \alpha \nu \; x \in [0,1) \\ -f{'}(1) & \alpha \nu \; x=1\end{cases}}$ .

Τότε η

είναι συνεχής στο 1 και ολοκληρώσιμη. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση $g:[0,1] \to \mathbb{R}$ η οποία είναι συνεχής στο 1 ισχύει ότι

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_0^1 x^n(1-x)g(x) \; dx = g(1)}$

Θα αποδείξω το ζητούμενο στην περίπτωση που η

είναι συνεχής στο [0,1]

. Τότε από το θεώρημα προσεγγίσεως Weierstrass υπάρχει πολυώνυμο

ώστε $|P(x) - g(x)| \leqslant \varepsilon$ για κάθε $x \in [0,1]$ και άρα $\displaystyle{ \left|n^2\int_0^1 x^n(1-x)g(x) \;dx - n^2\int_0^1 x^n(1-x)P(x) \;dx \right| \leqslant \varepsilon n^2 \int_0^1 x^n(1-x) \;dx = \frac{\varepsilon n^2}{(n+1)(n+2)} \leqslant \varepsilon}$

Όμως μπορούμε να δείξουμε εύκολα ότι για κάθε πολυώνυμο

αν το

είναι αρκετά μεγάλο τότε $\displaystyle{ \left| n^2 \int_0^1 x^n(1-x)P(x) \; dx - P(1) \right| \leqslant \varepsilon}$

Άρα για αρκετά μεγάλο

ισχύει ότι $\displaystyle{ \left|\lim_{n \to \infty} n^2 \int_0^1 x^n(1-x)g(x) \; dx - P(1) \right| \leqslant 3\varepsilon}$ και παίρνουμε το ζητούμενο.

Για την γενική περίπτωση όπου η

δεν είναι απαραίτητα συνεχής δεν έχω ακόμη λύση.

#55

Το επαναφέρω, μιας και ξεχάστηκε για τα καλά και υπάρχουν ακόμη μερικά αναπάντητα θεματάκια (5,9,10,11,12).

peter · #56

mathxl έγραψε: Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)|\sin nx|dx} }$ με f συνεχή. "Traian Lalescu", 1988.

Εδώ ισχύει: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^\pi f(x) |\sin nx|\, dx=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f$ .

Μια ιδεά γι' αυτό είναι να το δείξει πρώτα κανείς για χαρακτηριστικές διαστημάτων μιας και οι συνεχείς ορισμένες σε διαστήματα προσεγγίζονται ομοιόμορφα από πεπερασμένους γραμμικούς συνδυασμούς τέτοιων. Μάλιστα το αποτέλεσμα ισχύει και στην περίπτωση όπου $f\in L_1[0,\pi]$ .

Εδώ ισχύει κάτι πιο γενικό: (Fejer) Αν $f,g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχείς,

-περιοδικές, τότε: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^T f(x)g(nx)\, dx=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\, dx \cdot \int_0^T g(x)\, dx.$

Να προσθέσω μερικές ακόμη στο ίδιο στυλ.

Άσκηση 13. $\displaystyle \int_0^\pi \frac{\max_{1\leq k\leq n}|\sin kx|}{x}\, dx\sim \ln n$ .

Άσκηση 14. Έστω $f:[0,\pi/2]\to \mathbb R$ συνεχής. Βρείτε το όριο: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} n\int_0^{\pi/2} xf(x)(\cos x)^n\, dx.$

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στην αρίθμηση.

#57

peter έγραψε:Άσκηση 14. Έστω $f:[0,\pi/2]\to \mathbb R$ συνεχής. Βρείτε το όριο: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} n\int_0^{\pi/2} xf(x)(\cos x)^n\, dx.$

Είναι $\displaystyle{n\int_{0}^{\pi/2}xf(x)(\cos x)^{n}\,dx\stackrel{\cos x=y}{=}n\int_{0}^{1}\frac{\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^{2}}}f(\cos^{-1}y)y^{n}\,dy:=n\int_{0}^{1}g(y)y^{n}\,dy}$ ,

όπου η $\displaystyle{g(y)=\frac{\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^{2}}}f(\cos^{-1}y)}$ επεκτείνεται σε συνεχή συνάρτηση στο $\displaystyle{[0,1]}$ θέτοντας $\displaystyle{g(1)=\lim_{y\to1^-}\frac{\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^{2}}}f(\cos^{-1}y)=f(0)}$ , λόγω συνέχειας της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{0}$ .

Επεται ότι $\displaystyle{n\int_{0}^{1}g(y)y^{n}\,dy\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}g(1)\Big(=f(0)\Big)}$ όπως έχει δειχθεί στην $\displaystyle{9)}$ .

#58

$\displaystyle{15)}$ Έστω $\displaystyle{f:[0,+\infty)\to[0,+\infty)}$ συνεχής με $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}f(x)\,dx<+\infty}$ .

Ας υπολογισθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{n}xf(x)\,dx}$ .

mathxl · #59

mathxl έγραψε:Και ακόμη ένα. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_n^{n + 1} {\left\{ {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right\}} dx}$
(τα άγκιστρα είναι για το κλασματικό μέρος ίσως το έχω ξαναβάλει)

Απάντηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

16)
Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\frac{1}{y}\int\limits_0^\pi {\tan \left( {y\sin x} \right)dx} } \right]}$

Απάντηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

17)
Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\frac{{\log (1 + {x^{n + k}})}}{{\log (1 + {x^n})}}} dx}$

Απάντηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

18)
Έστω $\displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to {R^ + }}$
συνεχής με f(1)=1 και η ακολουθία $\displaystyle{{({a_n})_{n \ge 1}}}$
με γενικό όρο $\displaystyle{{a_n} = \int_0^1 {\frac{{f(x)}}{{1 + {x^n}}}dx} ,n \ge 1.}$
Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(\int_0^1 {f(x)dx} - {a_n}) = \ln 2}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#60

mathxl έγραψε:16)
Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\frac{1}{y}\int\limits_0^\pi {\tan \left( {y\sin x} \right)dx} } \right]}$

Απάντηση
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
2

Αυτό το έχω απαντήσει στην προηγούμενη σελίδα..

Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση