Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Ιστοσελίδα · #1

Να δειχθεί ότι αν $\vec{c(t)}$ διανυσματική συνάρτηση, ώστε : $||\vec{c(t)}||$ σταθερή για κάθε $t \in \mathbb{R}$ , τότε το διάνυσμα $\vec{c'(t)}$ είναι κάθετο στο $\vec{c(t)}$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$ .

Λέξεις κλειδιά : Διάνυσμα ταχύτητας, Παράγωγος διανύσματος, καθετότητα, μονοπάτι, διαδρομή

#2

#3

Και μία "απόδειξη" όπως θα την έκανε ένας Φυσικός:

Αφού || c(t)||

= σταθερό, σημαίνει ότι το κινητό μας κινείται σε κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση ξέρουμε ότι η ταχύτητά του είναι καταμήκος της εφαπτομένης του κύκλου. Δηλαδή είναι κάθετη στην επιβατική ακτίνα, όπως θέλαμε.

Και ένα σχόλιο: Ο Roberval, ο Cavalieri και άλλοι χρησιμοποιούσαν την παραπάνω συλλογιστική, όταν ο Απειροστικός Λογισμός ήταν στα πρώτα του βήματα, για να βρουν την εξίσωση της εφαπτομένης καμπύλης. Συγκεκριμένα, θεωρούσαν κινητό πάνω στην καμπύλη που του έδιναν κατάλληλη ταχύτητα. Μετά, αναλύοντας την ταχύτητά του σε κατάλληλες συνιστώσες, έβγαζαν συμπεράσματα για την εφαπτομένη.

Τα μαθηματικά τους ήσαν πάρα πολύ κομψά, αλλά ξεχάστηκαν όταν οι μαθηματικοί ανακάλυψαν τον γνωστό μας τρόπο με όρια για την εύρεση εφαπτομένης. Το πλεονέκτημα της μεθόδου με όρια που χρησιμοποιούμε σήμερα έχει το πλεονέκτημα ότι είναι καθολικό. Λειτουργεί δηλαδή ενιαία για όλες τις καμπύλες, ενώ η μέθοδος των Roberval, Cavalieri και άλλων, χρειαζόταν ειδικό τέχνασμα για την κάθε καμπύλη χωριστά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ιστοσελίδα · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:Και μία "απόδειξη" όπως θα την έκανε ένας Φυσικός:

Αφού = σταθερό, σημαίνει ότι το κινητό μας κινείται σε κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση ξέρουμε ότι η ταχύτητά του είναι καταμήκος της εφαπτομένης του κύκλου. Δηλαδή είναι κάθετη στην επιβατική ακτίνα, όπως θέλαμε.

Και ένα σχόλιο: Ο Roberval, ο Cavalieri και άλλοι χρησιμοποιούσαν την παραπάνω συλλογιστική, όταν ο Απειροστικός Λογισμός ήταν στα πρώτα του βήματα, για να βρουν την εξίσωση της εφαπτομένης καμπύλης. Συγκεκριμένα, θεωρούσαν κινητό πάνω στην καμπύλη που του έδιναν κατάλληλη ταχύτητα. Μετά, αναλύοντας την ταχύτητά του σε κατάλληλες συνιστώσες, έβγαζαν συμπεράσματα για την εφαπτομένη.

Τα μαθηματικά τους ήσαν πάρα πολύ κομψά, αλλά ξεχάστηκαν όταν οι μαθηματικοί ανακάλυψαν τον γνωστό μας τρόπο με όρια για την εύρεση εφαπτομένης. Το πλεονέκτημα της μεθόδου με όρια που χρησιμοποιούμε σήμερα έχει το πλεονέκτημα ότι είναι καθολικό. Λειτουργεί δηλαδή ενιαία για όλες τις καμπύλες, ενώ η μέθοδος των Roberval, Cavalieri και άλλων, χρειαζόταν ειδικό τέχνασμα για την κάθε καμπύλη χωριστά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη, πολλές σου υποδείξεις είναι και ξεχωριστό μάθημα...Ευχαριστούμε.
Καταλαβαίνω το επιχείρημά σου για τον κύκλο, αλλά για την παραβολική τροχιά ας πούμε δεν μπορώ να φανταστώ πώς το δούλευαν...Βιβλιογραφία;

Εγώ είχα στο μυαλό μου τη λύση του Σεραφείμ και είναι μία από τις ασκήσεις που επιλέγω συχνά να μελετήσουμε με τους μαθητές μου στην Κατεύθυνση, για χαλάρωση και άνοιγμα στον ορίζοντα των εφαρμογών των μαθηματικών σε άλλες επιστήμες...

Χμμμμ

προς μέλη και διαχειριστές : μήπως θα ήταν καλή ιδέα να φτιάχναμε ένα σχετικό φάκελο με διάφορες εφαρμογές της ύλης των μαθηματικών του σχολείου ή έστω και με κάποια μικρή επέκταση - ανά τάξη - σε άλλες επιστήμες και καθημερινά προβλήματα ;;;

Psiacolyte · #5

Μια (νομίζω) πολύ ωραία εφαρμογή αυτού είναι στη λύση της άσκησης:

Έστω σωματίδιο μάζας

και φορτίου

, ( $m,q\neq 0$ ) που κινείται σε μαγνητικό πεδίο σταθερού μέτρου και κατεύθυνσης. Η εξίσωση κίνησης του είναι $m\frac{d\vec{u}(t)}{dt}=q\left(\vec{u}(t)\times \vec{B} \right)$ . Αν η ταχύτητα του σωματιδίου είναι $\vec{u}\left(t \right)=u_{1}\left(t \right)\hat{e_{1}}+u_{2}\left(t \right)\hat{e_{2}}$ , και το μαγνητικό πεδίο $\vec{B}=B\hat{e_{3}}$ , $B\neq 0$ , t>0

όπου $\beta =\left\{\hat{e_{1}},\hat{e_{2}},\hat{e_{3}} \right\}$ ορθομοναδιαία βάση του $V_{3}$ , της οποίας τα διανύσματα είναι ανεξάρτητα του

, τότε να δειχθεί οτι η ταχύτητα και η επιτάχυνση ( $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{u}(t)}{dt}$ ) του σωματιδίου έχουν σταθερό μέτρο.
Επίσης να δειχθεί οτι η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς είναι $R=\frac{m\left|\left|\vec{u}\left(t \right) \right| \right|}{\left|Bq \right|}$ .

(Είχα κάποια τυπογραφικά και τα διόρθωσα.)

#6

Μια άλλη σκέψη φυσικού
αφού το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό, από ΘΜΚΕ το έργο της συνισταμένης δύναμης είναι 0. Άρα αυτή είναι κάθετη στην ταχύτητα οπότε παίζει ρόλο κεντρομόλου και τότε ΣF=mv^2/r από όπου βγαίνει ότι η ακτίνα καμπυλότητας r είναι σταθερή

Psiacolyte · #7

Πολύ ωραίο κύριε Μπόρη! Από τη σκέψη σας προκύπτει επίσης αβίαστα οτι και το μέτρο της επιτάχυνσης είναι σταθερό!

mathematica.gr

Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Re: Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Re: Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Re: Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Re: Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Re: Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Re: Ταχύτητα κάθετη σε διαδρομή

Μέλη σε σύνδεση