Ολοκληρώματα 3

erxmer · #1

Να υπολογιστούν τα κάτωθι
1)
Aν $ab\neq 0, F(a,b)=\int_{0}^{\pi/2}{\frac{dx}{(a^2sin^2x+b^2sin^2x)^2}}$

2)
Aν $ab\neq 0, F(a,b)=\int_{0}^{\pi/2}{ln(a^2sin^2x+b^2sin^2x)dx}$

3)
$\int_{\gamma }{\frac{dx}{x^3+y^3}}$
$\gamma : [x=acost, y=asint, t\in [0,\pi/2], a>0]$

#2

Τις ξεχάσαμε αυτές.

erxmer έγραψε:Να υπολογιστούν τα κάτωθι
1)
Aν $ab\neq 0, F(a,b)=\int_{0}^{\pi/2}{\frac{dx}{(a^2sin^2x+b^2sin^2x)^2}}$

Πρώτα από όλα προφανώς υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα: Το $b^2 \sin ^2 x$ πρέπει να γίνει $b^2 \cos ^2 x$

Κάνω την πρώτη με χρήση του θεωρήματος Leibniz για παραγώγιση ολοκληρώματος με παράμετρο. Η δεύτερη βγαίνει με παρόμοιο τρόπο, αλλά δεν έκανα τις πράξεις.

Είναι γνωστό και απλό να δούμε (μέσω της αντικτάστασης $t = \tan u$ ) ότι

$\int_{0}^{\pi/2}{\frac{dx}{a^2\sin ^2x+b^2\cos ^2x} = \frac {\pi}{2ab}$

Παραγωγίζοντας ως προς

τα δύο μέλη, που με χρήση του Leibniz έχουμε $\frac{d }{da} \int_0^{\pi/2} = \int _0^{\pi/2} \frac{\partial }{\partial a}$ , παίρνουμε

$\int_{0}^{\pi/2}{\frac{2a \sin ^2xdx}{(a^2\sin ^2x+b^2\cos ^2x)^2}}= -\frac {\pi}{2a^2b}$

άρα

$\int_{0}^{\pi/2}{\frac{\sin ^2xdx}{(a^2\sin ^2x+b^2\cos ^2x)^2}}= -\frac {\pi}{4a^3b}$

Όμοια, αλλά παραγωγίζοντας ως προς

, θα βρούμε

$\int_{0}^{\pi/2}{\frac{\cos ^2xdx}{(a^2\sin ^2x+b^2\cos ^2x)^2}}= -\frac {\pi}{4ab^3}$

Προσθέτοντας κατά μέλη θα βρούμε

$\int_{0}^{\pi/2}{\frac{dx}{(a^2\sin ^2x+b^2\cos ^2x)^2}}= -\frac {\pi}{4a^3b}-\frac {\pi}{4ab^3}$

δηλαδή βρήκαμε το πρώτο ολοκλήρωμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

mathematica.gr

Ολοκληρώματα 3

Ολοκληρώματα 3

Re: Ολοκληρώματα 3

Μέλη σε σύνδεση