Διαφορική εξίσωση

dimitris pap · #1

Επειδή έχω κολλήσει, θα μπορούσατε να με βοηθήσετε με αυτήν την διαφορική εξίσωση...

$f''(x)+f(x)=\cos{x}$

Θα ήθελα αν μπορείτε να μου πείτε τις γενικές μεθόδους για να λύνουμε μια διαφορική αυτής της μορφής, όπου αντί για cosx μπορεί να έχουμε κ οποιαδήποτε άλλη γνωστή g! Σκεπτόμουν να πολλαπλασιάσω τα 2 μέλη με ημίτονο χ ή να προσθαφαιρέσω f'(x)

αλλά δεν προχωράει

Σας ευχαριστώ...

#2

Καλησπέρα. Η άσκηση που ζητάς με προέτρεψε να ανοίξω λίγο τα κιτάπια μου και να ξαναασχοληθώ με τις αγαπημένες
μου (αλλά ξεχασμένες...) διαφορικές εξισώσεις...
Η μορφή που έδωσες λοιπόν είναι Δ.Ε 2ης τάξης με πραγματικούς συντελεστές και η μεθοδολογία που εφαρμόζεις για την επίλυση έχει ως εξής...
1) Ξεκινάς λέγοντας πως η $\displaystyle{\displaystyle y_0 = ax\cos x + bx\sin x,a,b \in \mathbb{R} }$ (1) είναι μια μερική λύση της Δ.Ε . Προσδιορίζεις , μετά απο σχετικά απλές παραγωγίσεις και πράξεις τα a,b
αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα της παραγώγισης της (1) στην αρχική σου εξίσωση. Θα βρείς a=0 και b=1/2.
Aρα μέχρι στιγμής έχεις πως : $\displaystyle{\displaystyle y_0 = \frac{1} {2} \cdot x\sin x }$

2) Στη συνέχεια θεωρείς την αντίστοιχη ομογενή εξίσωση: y''+y=0. To αντίστοιχο πολυώνυμο αυτής είναι:
$\displaystyle{\displaystyle r^2 + 1 = 0 }$ με λύσεις τις $\displaystyle{\displaystyle r = \pm i }$ .
(Γενικά αν έχεις την ομογενή διαφορική εξίσωση αy''+by'+cy=0,με α,b,c πραγματικούς, τότε το αντίστοιχο πολώνυμο είναι $\displaystyle{\displaystyle ar^2 + br + c = 0 }$ ) .Λόγω των λύσεων του πολυωνύμου μια λύση της ομογενούς είναι : y(x)=Acosx+Bsinx (το γιατί έχει να κάνει με την έκφραση του $\displaystyle{\displaystyle e^{ix} }$ , απο τον τύπο του euler, δηλαδή $\displaystyle{\displaystyle e^{ix} = \cos x + i\sin x }$ και ανήκει στη θεωρία των ομογενών Δ.Ε..) ,
Τελικά η λύση της Δ.Ε προκύπτει ως το άθροισμα της y0 και της y(x) δηλαδή είναι η
$\displaystyle{\displaystyle \frac{1} {2}x\sin x + A\cos x + B\sin x,A,B \in \mathbb{R} }$ .
Ελπίζω να βοήθησα, καλό βράδυ.
Υ.Γ Αντί για f επέμενα στο y. Μπορείς εσύ να το αλλάξεις.

Υ.Γ (2) Αν αντί για cosx έχεις κάποια άλλη συνάρτηση, το σκεπτικό είναι παρόμοιο, απλά πρέπει να κάνεις μια καλή μαντεψιά για την y0.

dimitris pap · #3

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια! Νόμιζα πως θα' ταν πιο απλό και για αυτό το έβαλα στα σχολικά...

Ακόμα δεν κατάλαβα κάτι βέβαια... την αρχική λύση y_0

πρέπει να τη "μαντέψει" κανείς?

#4

Δημήτρη,

Κοίτα και στο email σου το συνημμένο.

Αυτό που χρειάζεσαι εκτός από την εύρεση της λύσης της ομογενούς είναι και η εύρεση μίας μερικής λύσης (όπως ακριβώς ανέφερε και ο Χρήστος παραπάνω). Αυτό είναι και το "δύσκολο" κομμάτι.

Δύο μέθοδοι για την εύρεση μίας μερικής λύσης αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως εξής:

The Method of Undetermined Coefficients.
The Method of Variation of Parameters.

Νομίζω ότι με το google θα βρεις πολλές πληροφορίες.

Αλέξανδρος

#5

Kαλησπέρα.
Για τη ''μαντεψιά'' που είπα, είχε να κάνει σχετικά με τις απλές περιπτώσεις (όπως αυτή που παράθεσες).
Όσον αφορά τις πιο σύνθετες, σκέφτηκα πως δεν είχε κάποιο νόημα να σου τις παρουσιάσω, αφού θα έπρεπε να γράψω αρκετά πράγματα ακόμα. Θα σου συστήσω , ως βοήθεια το βιβλίο του Τom Apostol, ''Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός'' τόμος ΙΙ σελ418-426 απ'όπου προσπάθησα και να σου απαντήσω.
Καλό βράδυ.

mathematica.gr

Διαφορική εξίσωση

Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση