Όγκος

#1

Άν $D_{1}=\left\{{({x,y,z})\in{\mathbb{R}}^3:\,x^2+y^2+z^2\leq4}\right\}$ , $D_{2}=\left\{{({x,y,z})\in{\mathbb{R}}^3:\,16x^2+16y^2+z^2\leq16}\right\}$ καί $D=D_{1}\cap{D}_{2}$ νά υπολογισθεί ο όγκος V({D})

.

edit[23:35] έχω ήδη ένα τρόπο υπολογισμού.

#2

grigkost έγραψε:Άν $D_{1}=\left\{{({x,y,z})\in{\mathbb{R}}^3:\,x^2+y^2+z^2\leq4}\right\}$ , $D_{2}=\left\{{({x,y,z})\in{\mathbb{R}}^3:\,16x^2+16y^2+z^2\leq16}\right\}$ καί $D=D_{1}\cap{D}_{2}$ νά υπολογισθεί ο όγκος .

Έχομεν και λέμεν: Το $D_{1}$ παριστάνει σφαίρα κένρου (0,0,0) και ακτίνας 2.
Για το $D_{2}$ : νομίζω ένα τέθοιο σχήμα χαρακτηρίζεται ως ελλειψοειδές εκ περιτροπής..καλό..περιστροφής;
Τομές του συνόρου με επίπεδα κάθετα στον Ox δίνουν ελλείψεις οι οποίες εκφυλίζονται στα σημεία (-1,0,0) και (1,0,0).
Ομοίως και για επίπεδα κάθετα στον Oy με εκφυλιζζζμό στα σημεία (0,-1,0) και (0,1,0).
Για τα επίπεδα που είναι κάθετα στον Oz έχουμε κύκλους που εκφυλίζονται στα σημεία (0,0,4) και (0,0,-4).
Απαλείφοντας το z από τσι 6σώσεις των επιφανειών έχουμε $x^{2}+y^{2}=(\frac{2}{\sqrt{5}})^{2}$ .
Δυνάμεθα λοιπόν να πούμε ότι
$V(D)=2\cdot\Big(\displaystyle\int_{A}\sqrt{16-16x^{2}-16y^{2}}\,dx\,dy+\displaystyle\int_{B}\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy\Big):=\\2(I_{1}+I_{2})$
, όπου
$A=\{(x,y):\frac{2}{\sqrt{5}}\leq x^{2}+y^{2}\leq1\}$ ενώ $B=\{(x,y):0\leq x^{2}+y^{2}\leq\frac{2}{\sqrt{5}}\}$ . Με χρήση πολικών συντεταγμένων έχουμε:
$\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{2}{\sqrt{5}}}^{1}r\sqrt{16-16r^{2}}\,dr\,d\theta\stackrel{16-16r^{2}=u}{=}\frac{1}{32}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{16}{5}}u^{\frac{1}{2}}\,du\,d\theta=\ldots=\frac{8\pi}{3\sqrt{125}}$ .
Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε και το $I_{2}$ και βρίσκουμε $\frac{16\pi}{3}-\frac{128\pi}{3\sqrt{125}}$ .
Οι πιθανότητες να ΜΗΝ έχω κάνει λάθος είναι μηδαμηνές...

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Οι πιθανότητες να ΜΗΝ έχω κάνει λάθος είναι μηδαμηνές...

Επειδή έχω βρεί τό ίδιο αποτέλεσμα οί πιθανότητες νά ΜΗΝ έχουμε κάνει λάθος ΔΕΝ είναι μηδαμινές.

#4

Ένας - πιό "ογκώδης" από αυτόν τού Αναστάση - υπολογισμός είναι ο παρακάτω:

Λόγω συμμετρίας τού

ώς πρός τό επίπεδο z=0

θά υπολογισθεί ο όγκος τού $D_{+}$ πού είναι τό σύνολο

πού βρίσκεται πάνω από τό επίπεδο z=0

.

Η τομή τών $D_{1}$ , $D_{2}$ είναι τό επίπεδο $z=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ , αφού $\left\{{\begin{array}{c} x^2+y^2=4-z^2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac{z^2}{16}=1-\left({x^2+y^2}\right) \end{array}}\right\}$ , ενώ η τομή τής σφαίρας x^2+y^2+z^2=4

καί τού ελλειψοειδούς $x^2+y^2+\dfrac{z^2}{16}=1$ είναι ο κύκλος $x^2+y^2=\dfrac{4}{5}$ .

Ο όγκος μεταξύ τού επιπέδου $z=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ καί τού τμήματος τής σφαίρας πάνω από αυτό ισούται μέ
$V({\check{D}_{1}})=\displaystyle\iiint_{\check{D}_{1}}{dz\,dy\,dx}=\int_{-\frac{2}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}\int_{-\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}^{\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}\int_{\frac{4}{\sqrt{5}}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}{dz\,dy\,dx}=$

$\displaystyle\int_{-\frac{2}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}\int_{-\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}^{\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}{\sqrt{4-x^2-y^2}-\frac{4}{\sqrt{5}}\,dy\,dx}=$

$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\rho\,\sqrt{4-\rho^2\,\cos^2{\phi}-\rho^2\,\sin^2{\phi}}-\frac{4\rho}{\sqrt{5}}\,d\rho\,d\phi}=$

$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\rho\,\sqrt{4-\rho^2}-\frac{4\rho}{\sqrt{5}}\,d\rho\,d\phi}=\frac{16\pi}{3}-\frac{176\pi\,\sqrt{5}}{75}$ .

Ο όγκος μεταξύ τού επιπέδου z=0

καί τού τμήματος τού ελλειψοειδούς πάνω από αυτό ισούται μέ
$V({\check{D}_{2}})=\displaystyle\iiint_{\check{D}_{2}}{dz\,dy\,dx}=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{0}^{4\sqrt{1-x^2-y^2}}{dz\,dy\,dx}=$

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}{4\,\sqrt{1-x^2-y^2}\,dy\,dx}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}{4\rho\,\sqrt{1-\rho^2}\,d\rho\,d\theta}=\frac{8\pi}{3}$ .

Ο όγκος μεταξύ τού επιπέδου $z=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ καί τού τμήματος τού ελλειψοειδούς πάνω από αυτό ισούται μέ
$V({\check{D}_{3}})=\displaystyle\iiint_{\check{D}_{3}}{dz\,dy\,dx}=\int_{-\frac{2}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}\int_{-\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}^{\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}\int_{\frac{4}{\sqrt{5}}}^{4\sqrt{1-x^2-y^2}}{dz\,dy\,dx}=$

$\displaystyle\int_{-\frac{2}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}\int_{-\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}^{\sqrt{\frac{4}{5}-x^2}}{4\,\sqrt{1-x^2-y^2}-\tfrac{4}{\sqrt{5}}\,dy\,dx}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}{4\rho\,\sqrt{1-\rho^2}-\tfrac{4\rho}{\sqrt{5}}\,d\rho\,d\theta}=$

$\displaystyle\frac{8\pi}{3}-\frac{56\pi\,\sqrt{5}}{75}$ .

Επομένως ο όγκος τού τμήματος $\check{D}_{4}$ τού ελλειψοειδούς πού βρίσκεται μεταξύ τών επιπέδων z=0

καί $z=\frac{4}{\sqrt{5}}$ καί πάνω από αυτό ισούται μέ

$V({\check{D}_{4}})=\displaystyle\frac{8\pi}{3}-\left[{\frac{8\pi}{3}-\frac{56\pi\,\sqrt{5}}{75}}\right]=\frac{56\pi\,\sqrt{5}}{75}$ καί ο όγκος τού

ισούται μέ
$V({D})=\displaystyle2\,V({D_{+}})=2\left({\frac{16\pi}{3}-\frac{176\pi\,\sqrt{5}}{75}+\frac{56\pi\,\sqrt{5}}{75}}\right) =8\pi\left({\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{5}}{5}}\right) .\quad\square$

mathematica.gr

Όγκος

Όγκος

Re: Όγκος

Re: Όγκος

Re: Όγκος

Μέλη σε σύνδεση