Ένα ωραίο πρόβλημα ανάλυσης

AlexandrosG · #1

Δώστε παράδειγμα ενός σ-πεπερασμένου μέτρου $\mu$ στο χώρο $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ τέτοιο ώστε $\mu((a,b))=+\infty$ για κάθε a<b

.

Δίνω μια επεξήγηση των συμβόλων και των εννοιών για να ασχοληθεί αν θέλει και κάποιος που δεν γνωρίζει Θεωρία Μέτρου.

Μια συνάρτηση $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}) \to [0,+\infty]$ ονομάζεται μέτρο αν $\mu(\emptyset)=0$ και $\displaystyle{\mu\Bigg(\bigcup _{n=1}^{+\infty} A_n \Bigg)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mu(A_n)}$ για κάθε ακολουθία ξένων ανά δύο συνόλων A_n

.

Ένα μέτρο λέγεται σ-πεπερασμένο αν υπάρχουν σύνολα $A_n,n \in \mathbb{N}$ πεπερασμένου μέτρου τέτοια ώστε $\displaystyle{\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n}$ .

Η $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ είναι η ελάχιστη οικογένεια υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ η οποία περιέχει τα διαστήματα και είναι κλειστή ως προς συμπληρώματα και αριθμήσιμες ενώσεις.

#2

Για κάθε $A\subseteq \mathbb R$ (όχι κατ' ανάγκη Borel), θέτουμε $\mu (A)=$ το πλήθος των ρητών που περιέχει (ακόμη και άπειρο). To $\mu$ είναι βέβαια μέτρο με $\mu ( (a,b)) = +\infty$ (απλά). Επίσης, το $\mu$ είναι σ-πεπερασμένο διότι για αρίθμηση (q_n)

του $\mathbb Q$ είναι $\displaystyle \mathbb R = \bigcup _{n=1}^{+\infty} \left( (\mathbb R-\mathbb Q) \cup \{q_1, \, q_2, \, ... \,, q_n \} \right)$ και $\displaystyle \mu \left( (\mathbb R-\mathbb Q) \cup \{q_1, \, q_2, \, ... \,, q_n \} \right) = n <\infty$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Ένα ωραίο πρόβλημα ανάλυσης

Ένα ωραίο πρόβλημα ανάλυσης

Re: Ένα ωραίο πρόβλημα ανάλυσης

Μέλη σε σύνδεση