Εύρεση τύπου

mathxl · #1

Ας είναι $\displaystyle{ a,b\in(0,1) }$ και f ορισμένη στο $\displaystyle{ [0,1]\ }$ , συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε να ισχύει
$\[ \int_{0}^{x}f(t){\rm d}t=\int_{0}^{ax}f(t){\rm d}t+\int_{0}^{bx}f(t){\rm d}t,$ για κάθε χ στο [0,1]
Να βρείτε τον τύπο της f, όταν
1) α+β<1

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

,
2) α+β=1

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathfinder · #2

Η άσκηση αυτή είναι από διαγωνισμό της Ρουμανίας του 2004 και παραθέτω την επίσημη λύση της.

Καλό μεσημέρι
Αθ. Μπεληγιάννης

mathxl · #3

Μία δική μου αντιμετώπιση, αν μείνουμε στο βήμα
f(x)=af(ax)+bf(bx)
και πολλαπλασιάσουμε τα μέλη με x τότε
xf(x)=axf(ax)+bxf(bx)
που σημαίνει ότι η g(x)=xf(x) λόγω cauchy θα έχει λύση την κχ f(x)=κx/x,χ διάφoρο του 0 άρα f(x)=k,χ ανήκει στο (0,1] λόγω συνέχειας f(x)=k,χ ανήκει στο [0,1]
Για το 1
με αντικατάσταση στην σχέση με τα ολοκληρώματα παίρνουμε κχ=(α+β)κχ ισοδύναμα κ=0
Για το 2
Όμοια κ ανήκει R

ΆΚΥΡΟ (μα που είδα την cauchy....) δουλεύει όμως το 2

mathematica.gr

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση