Βασικό θέμα στις Συναρτ.Σχέσεις

S.E.Louridas · #1

Απεικόνιση μεταξύ Γραμμικών Χώρων

Έστω X, Y Γραμμικοί Χώροι .Θεωρούμε την περιττή απεικόνιση
$f:X \to Y.$ Nα αποδειχθεί ότι :
$\left[ {f\left( {\frac{{x + y}} {2}} \right) + f\left( {\frac{x} {2} + y} \right) + f\left( {x + \frac{y} {2}} \right) = 2\left( {f\left( x \right) + f\left( y \right)} \right)} \right]\left( {\forall x,y \in X - \left\{ 0 \right\}} \right).....\left( * \right),$
αν και μόνο αν η f είναι προσθετική .

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #2

Μία Λύση

Έστω ότι ισχύει η σχέση (*) .Το δεδομένο ότι η f είναι περιττή μας οδηγεί στην σχέση
$f\left( 0 \right) = 0.$
Παρατηρούμε ότι:
$\left( * \right) \Rightarrow f\left( {\frac{{3x}} {2}} \right) = \frac{3} {2}f\left( x \right),\forall x \in {\rm X} - \left\{ 0 \right\}.....\left( 1 \right),$
$\left( * \right)\mathop \Rightarrow \limits^{y = 2x} f\left( {\frac{{5x}} {2}} \right) = f\left( {2x} \right) + \frac{{f\left( x \right)}} {2},\forall x \in {\rm X} - \left\{ 0 \right\}......\left( 2 \right),$
$\left( * \right)\mathop \Rightarrow \limits^{y = - 2x} f\left( {\frac{{3x}} {2}} \right) + f\left( {\frac{x} {2}} \right) = 2f\left( {2x} \right) - 2f\left( x \right).....\left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\frac{x} {2} \to x} f\left( {3x} \right) + f\left( x \right) = 2f\left( {4x} \right) - 2f\left( {2x} \right).....\left( 4 \right).$
Οι σχέσεις (3),(4) ισχύουνΕπίσης έχουμε :
$\left( * \right)\mathop \Rightarrow \limits_{y = 4x}^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} 5f\left( {3x} \right) = 4f\left( {4x} \right) - 2f\left( {2x} \right) + 3f\left( x \right),\forall x \in {\rm X} - \left\{ 0 \right\}.....\left( 5 \right).$
(4),(5) παίρνουμε
$3f\left( {4x} \right) = 4f\left( {2x} \right) + 4f\left( x \right),\forall x \in {\rm X} - \left\{ 0 \right\}......\left( 6 \right).$
Από τις σχέσεις (1),(3) παίρνουμε ότι:
$7f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{x} {2}} \right) = 4f\left( {2x} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{x \to 2x} 7f\left( {2x} \right) + 2f\left( x \right) = 4f\left( {4x} \right),\forall x \in {\rm X} - \left\{ 0 \right\}......\left( 7 \right).$
Από τις σχέσεις
$\left( 6 \right),\left( 7 \right) \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2f\left( x \right),\forall x \in {\rm X} - \left\{ 0 \right\} \wedge f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2f\left( x \right),\forall x \in {\rm X}.......\left( 8 \right).$
$x \to 2x,y \to 2y\mathop \Rightarrow \limits^{\left( * \right)} f\left( {x + 2y} \right) + f\left( {2x + y} \right) + f\left( {x + y} \right) = 4f\left( x \right) + 4f\left( y \right),\forall \left( {x,y} \right) \in {\rm X}^2 .....\left( 9 \right).$
$y \to - y,x \to x + y\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 9 \right)} f\left( {2x + y} \right) + f\left( {x - y} \right) = 4f\left( {x + y} \right) - 4f\left( y \right) - f\left( x \right),\forall \left( {x,y} \right) \in {\rm X}^2 .....\left( {10} \right).$
Εναλλάσσοντας τα x, y στην προηγούμενη σχέση (10) παίρνουμε την σχέση :
$f\left( {x + 2y} \right) - f\left( {x - y} \right) = 4f\left( {x + y} \right) - 4f\left( x \right) - f\left( y \right),\forall \left( {x,y} \right) \in {\rm X}^2 .......\left( {11} \right).$
$\left( {10} \right),\left( {11} \right) \Rightarrow f\left( {2x + y} \right) + f\left( {x + 2y} \right) = 8f\left( {x + y} \right) - 5f\left( x \right) - 5f\left( y \right),\forall \left( {x,y} \right) \in {\rm X}^2 ......\left( {12} \right).$
$\left( 9 \right),\left( {12} \right) \Rightarrow f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall \left( {x,y} \right) \in {\rm X}^2 ,$
δηλ. η f είναι προσθετική.
Το αντίστροφο είναι καθαρό.
Παρατήρηση:
Το θέμα αυτό θά μπορούσε να μπεί και στην ενότητα Λύκειο-Seniors ,γιά να δούν οι λύτες πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε
θέμα συναρτησιακών εξισώσεων.Δηλ. αν μετά την διαπύστωση οτι η f είναι προσθετική ,δίνοντας και ένα αλλο δεδομένο να ζητήσουμε τον τύπο της.

S.E.Louridas

mathematica.gr

Βασικό θέμα στις Συναρτ.Σχέσεις

Βασικό θέμα στις Συναρτ.Σχέσεις

Re: Βασικό θέμα στις Συναρτ.Σχέσεις

Μέλη σε σύνδεση