int { 1 / [ (1-x^4) sqrt(1+x^2)] dx }

#1

Να επιλυθεί το $\displaystyle\int{\frac{1}{\left({1-x^4}\right)\sqrt{1+x^2}}\,dx}\,.$

Υπάρχει ήδη μία επίλυση.

#2

grigkost έγραψε:Νά επιλυθεί τό $I:=\displaystyle\int{\frac{1}{\left({1-x^4}\right)\sqrt{1+x^2}}\,dx}\,.$

Μια μάλλον κακή αντιμετώπιση του ζητήματος είναι η εξής:
$I\displaystyle\stackrel{\sqrt{x^{2}+1}=t-x}{=}\int\frac{1}{1-\big(\frac{t^{2}-1}{2t}\big)^{4}\big(t-\frac{t^{2}-1}{2t}\big)}\cdot\frac{t^{2}+1}{2t^{2}}\,dt=\int\frac{1}{t\big(1-\frac{(t^{2}-1)^{4}}{16t^{4}}\big)}\,dt=\int\frac{1}{t\cdot\frac{16t^{4}-(t^{2}-1)^{4}}{16t^{4}}}\,dt=\int\frac{16t^{3}}{\big((2t)^{2}-(t^{2}-1)^{2}\big)\big((2t)^{2}+(t^{2}-1)^{2}\big)}\,dt=\int\frac{16t^{3}}{(-t^{2}+2t+1)(t^{2}+2t-1)(4t^{2}+t^{4}-2t^{2}+1)}\,dt=-\int\frac{16t^{3}}{(t-1+\sqrt{2})(t-1-\sqrt{2})(t+1-\sqrt{2})(t+1+\sqrt{2})(t^{2}+1)^{2}}\,dt$

Η επίλυση μπορεί να συνεχίσει κατά τα γνωστά με διάσπαση σε επιμέρους κλάσματα. Λέω να μην ξεκινήσω να λύνω το αντίστοιχο σύστημα γιατί αύριο το απόγευμα έχω μια δουλειά και μάλλον δε θα προλάβω...

mathxl · #3

Ισχύει $\displaystyle{\displaystyle \frac{1}{{1 - {x^4}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1 - {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}}} \right)}$
Άρα
$\displaystyle{\displaystyle I = \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}dx + } \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}dx + } \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} }$
με την αντικατάσταση χ=tant, έχουμε
$\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle I = \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{\left( {1 - \tan t} \right)\cos t}}dt + } \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{\left( {1 + \tan t} \right)\cos t}}dt + } \frac{1}{2}\int {{{\cos }^3}tdt} = \\ = \displaystyle \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{\cos t - \sin t}}dt + } \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{\cos t + \sin t}}dt + } \frac{1}{2}\int {\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)\cos tdt} = \\ = \displaystyle \frac{{\sqrt 2 }}{8}\int {\frac{1}{{\sin \left( {\frac{\pi }{4} - t} \right)}}dt + } \frac{{\sqrt 2 }}{8}\int {\frac{1}{{\sin \left( {\frac{\pi }{4} + t} \right)}}dt + } \frac{1}{2}\int {\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)d\left( {\sin t} \right)} \\ \end{array}}$
τα υπόλοιπα είναι εύκολα

#4

$I=\displaystyle\int{\frac{1}{\left({1-x^4}\right)\sqrt{1+x^2}}\,dx}=\int{\frac{1}{\left({1-x^2}\right)\left({1+x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,dx}$ .

Θέτωντας $x=\tan{\theta}$ , προκύπτουν $dx=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\,d\theta$ καί $\sqrt{1+x^2}=\dfrac{1}{\cos{\theta}}$ .

$I=\displaystyle\int{\frac{1}{\left({1-\tan^2{\theta}}\right)\,\frac{1}{\cos^3{\theta}}}\,\frac{1}{\cos^2{\theta}}\,d\theta}=\int{\frac{\cos{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\,d\theta}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,\sin{\theta}} \\ {dt\,=\,\cos{\theta}\,d\theta} \\ \end{subarray}}\,\int{\frac{1}{1-\frac{t^2}{1-t^2}}\,dt}=$

$\displaystyle\int{\frac{1-t^2}{1-2t^2}\,dt}=\frac{1}{2}\int{\frac{1-2t^2+1}{1-2t^2}\,dt}=\frac{1}{2}\int{dt}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-\left({t\,\sqrt{2}}\right)^2}\,dt}=$

$\displaystyle\frac{t}{2}+c_1+\frac{\sqrt{2}}{4}\int{\frac{\sqrt{2}}{1-\left({t\,\sqrt{2}}\right)^2}\,dt}=\frac{t}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\,{\rm{arctanh}}({t\,\sqrt{2}})+c\,\mathop{=}\limits^{t\,=\,\sin{\theta}}$

$\displaystyle\frac{\sin{\theta}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\,{\rm{arctanh}}({\sqrt{2}\,\sin{\theta}})+c\,\mathop{=}\limits^{x=\tan{\theta}}$

$\displaystyle\frac{x}{2\,\sqrt{1+x^2}}+\frac{\sqrt{2}}{4}\,{\rm{arctanh}}\!\left({\tfrac{x\,\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^2}}}\right) +c\,.\quad\square$

mathematica.gr

int { 1 / [ (1-x^4) sqrt(1+x^2)] dx }

int { 1 / [ (1-x^4) sqrt(1+x^2)] dx }

Re: int { 1 / [ (1-x^4) sqrt(1+x^2)] dx }

Re: int { 1 / [ (1-x^4) sqrt(1+x^2)] dx }

Re: int { 1 / [ (1-x^4) sqrt(1+x^2)] dx }

Μέλη σε σύνδεση