Ανισότητα 2

ghan · #1

Να δειχθεί ότι $\frac{\pi }{\sqrt{2}}\le \int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{\cos x}\;dx\le \pi }$

STOPJOHN · #2

Για τη μια ανισότητα θεωρώ τη συνάρτηση
$f(x)=1-\sqrt{cosx},x\epsilon \left[\frac{-p}{2}, \frac{p}{2} \right] f'(x)=\frac{sinx}{2\sqrt{cosx}}$ , από τη μονοτονία της συνάρτησης είναι $0\leq f(x)\leq 1$ Συνεπώς $\int_{-\frac{p}{2}}^{\frac{p}{2}}{f(x)}dx\geq 0\Leftrightarrow \int_{\frac{-p}{2}}^{\frac{p}{2}}{\sqrt{cosx}}dx\leq p$ . Παραμένει σε εκκρεμότητα η άλλη ανισότητα ,λίγο χρόνο για να τη μελετήσω...

Γιάννης

#3

Η συγκεκριμένη βγαίνει και στοιχειωδώς, χωρίς μονοτονία κτλ, αφού:
$\displaystyle{ 0 \le \cos x \le 1,\forall x \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \sqrt {\cos x} \le 1 \Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\cos x} } dx \le \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {1dx} = \pi }$

Η έτερη με απασχόλησε χτες,ανεπιτυχώς...Τώρα υπάρχει φόρτος εργασίας.
Καλό απόγευμα.
Χ.Κ

#4

Για το κάτω φράγμα:

Είναι $\displaystyle{1-\frac{x^2}{2}\leq\cos x}$ στο $[0,\sqrt{2}]$ , άρα και $\displaystyle{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\leq\sqrt{\cos x}}$ στο ίδιο διάστημα, άρα $\displaystyle{\frac{\pi}{2\sqrt{2}}=\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\,dx<\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\cos x}\,dx}$ , άρα

$\displaystyle{\frac{\pi}{\sqrt{2}}<2\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\cos x}\,dx<2\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos x}\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos x}\,dx}$ .

#5

Ωραίος ο Αναστάσης!

dement · #6

Μπορούμε να στριμώξουμε λίγο τα φράγματα με αριθμητικό και αρμονικό μέσο.

Εχουμε $\displaystyle \sqrt{\cos x} \leq \frac{1 + \cos x}{2}$ οπότε $\displaystyle \int_{- \pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\cos x} dx \leq \int_{- \pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{\pi}{2} + 1 < \pi$

Επίσης έχουμε $\displaystyle \sqrt{\cos x} \geq \frac{2 \cos x}{1 + \cos x}$ οπότε $\displaystyle \int_{- \pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\cos x} dx \geq \int_{- \pi/2}^{\pi/2} \frac{2 \cos x}{1 + \cos x} dx = 2 \pi - 4 > \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

mathematica.gr

Ανισότητα 2

Ανισότητα 2

Re: Ανισότητα 2

Re: Ανισότητα 2

Re: Ανισότητα 2

Re: Ανισότητα 2

Re: Ανισότητα 2

Μέλη σε σύνδεση