Υπολογίστε το όριο

giannis84 · #1

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}(\nu!\cdot{e}-[\nu!\cdot{e}])$

όπου [ ] το ακέραιο μέρος

#2

giannis84 έγραψε: $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}(\nu!\cdot{e}-[\nu!\cdot{e}])$

όπου [ ] το ακέραιο μέρος

Θα γίνει χρήση της $\displaystyle{ 0 \le \frac {1}{n+1}+ \frac {1}{(n+1)(n+2)}+ \frac {1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ ... \le \frac {1}{n+1}+ \frac {1}{(n+1)^2}+ \frac {1}{(n+1)^3}+... = \frac {1}{n}\to 0}$ .

Γράφοντας $\displaystyle{ e= 1 + \frac {1}{1!}+ \frac {1}{2!}+ ... }$ και χρησιμοποιώντας ότι ο $\displaystyle{S_n= \frac {n!}{1!}+ \frac {n!}{2!}+ ...+ \frac {n!}{n!} }$ είναι φυσικός ως άθροισμα φυσικών

έχουμε

$\displaystyle{ n!\cdot{e}-[n!\cdot{e}] = n!\cdot{e}-\left [S_n+ \frac {1}{n+1}+ \frac {1}{(n+1)(n+2)}+ \frac {1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ ...\right ]=$

$\displaystyle {= n! \cdot e - S_n= \frac {1}{n+1}+ \frac {1}{(n+1)(n+2)}+ \frac {1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ ...\to 0$

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Υπολογίστε το όριο

Υπολογίστε το όριο

Re: Υπολογίστε το όριο

Μέλη σε σύνδεση