Να λυθούν οι εξισώσεις

#1

1) Να βρεθούν όλοι οι θετικοί πραγματικού αριθμοί χ που ικανοποιούν $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$ .

2) Να βρεθούν όλοι οι θετικοί πραγματικού αριθμοί χ που ικανοποιούν $x^{x^{x^{\dots}}} = 4$ .

dement · #2

Καλημερα.

Και στις δυο ασκησεις, το αριστερο μελος ειναι το οριο μιας ακολουθιας (a_n)

με $a_1 = x, a_{k+1} = x^{a_k}$ . Υποθετοντας οτι το οριο υπαρχει, λογω συνεχειας, θα πρεπει να ικανοποιει την εξισωση x^l = l

. Απο το γραφημα της συναρτησης $f(t) = \frac{\ln t}{t}$ συναγουμε τα εξης:

1. Για καθε οριο $0 < l \leq 1$ η εξισωση εχει μοναδικη λυση και ευκολα αποδεικνυεται οτι η αντιστοιχη ακολουθια συγκλινει, οποτε ουδεν προβλημα. Ομοιως εχουμε μοναδικη λυση στην περιπτωση l = e

την $x = e^{1/e}$ .

2. Οταν εχουμε $x > e^{1/e}$ η ακολουθια δε συγκλινει.

3. Οταν εχουμε $1 < x \leq e^{1/e}$ η ακολουθια εχει δυο πιθανα ορια, 1 < l_1 < e < l_2

. Με επαγωγη μπορουμε να αποδειξουμε οτι οι οροι της ακολουθιας ειναι παντα μικροτεροι απο το l_1

και οτι η ακολουθια ειναι αυξουσα. Κατα συνεπεια το σωστο οριο ειναι το μικροτερο, l_1 < e

.

Βλεπουμε οτι, τοσο στην πρωτη οσο και στη δευτερη ασκηση, το μονο πιθανο

ειναι το $\sqrt{2}$ . Αφου ομως, οπως ειδαμε, το οριο πρεπει να ειναι παντα μικροτερο η ισο του

, καταληγουμε στο συμπερασμα οτι το $\sqrt{2}$ ειναι η λυση της πρωτης ασκησης, ενω η δευτερη δεν εχει λυσεις.

Δημητρης Σκουτερης

#3

dement έγραψε:Καλημερα.

Και στις δυο ασκησεις, το αριστερο μελος ειναι το οριο μιας ακολουθιας με $a_1 = x, a_{k+1} = x^{a_k}$ . Υποθετοντας οτι το οριο υπαρχει, λογω συνεχειας, θα πρεπει να ικανοποιει την εξισωση . Απο το γραφημα της συναρτησης $f(t) = \frac{\ln t}{t}$ συναγουμε τα εξης:

1. Για καθε οριο $0 < l \leq 1$ η εξισωση εχει μοναδικη λυση και ευκολα αποδεικνυεται οτι η αντιστοιχη ακολουθια συγκλινει, οποτε ουδεν προβλημα. Ομοιως εχουμε μοναδικη λυση στην περιπτωση την $x = e^{1/e}$ .

2. Οταν εχουμε $x > e^{1/e}$ η ακολουθια δε συγκλινει.

3. Οταν εχουμε $1 < x \leq e^{1/e}$ η ακολουθια εχει δυο πιθανα ορια, . Με επαγωγη μπορουμε να αποδειξουμε οτι οι οροι της ακολουθιας ειναι παντα μικροτεροι απο το και οτι η ακολουθια ειναι αυξουσα. Κατα συνεπεια το σωστο οριο ειναι το μικροτερο, .

Βλεπουμε οτι, τοσο στην πρωτη οσο και στη δευτερη ασκηση, το μονο πιθανο ειναι το $\sqrt{2}$ . Αφου ομως, οπως ειδαμε, το οριο πρεπει να ειναι παντα μικροτερο η ισο του , καταληγουμε στο συμπερασμα οτι το $\sqrt{2}$ ειναι η λυση της πρωτης ασκησης, ενω η δευτερη δεν εχει λυσεις.

Δημητρης Σκουτερης

Τέλεια.

mathematica.gr

Να λυθούν οι εξισώσεις

Να λυθούν οι εξισώσεις

Re: Να λυθούν οι εξισώσεις

Re: Να λυθούν οι εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση