Σύγκριση νορμών συνάρτησης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Για μία $f:[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb{R}$ και $p\geq 1$

θέτουμε $\left \| f \right \|_{p}=(\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\left | f(x) \right |^{p}dx)^{\frac{1}{p}}$

(Αν και ισχύουν γενικότερα, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής)

1)Να δειχθεί ότι $1\leq p< q\Rightarrow \left \| f \right \|_{p}\leq \left \| f \right \|_{q}$

2)Αν 1< p< q

και υπάρχει c> 0

με $\left \| f\right \|_{q}\leq c\left \| f \right \|_{p}$

τότε υπάρχει σταθερά C=C(c,p,q)

ώστε $\left \| f \right \|_{p}\leq C\left \| f \right \|_{1}$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Για μία $f:[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb{R}$ και $p\geq 1$

θέτουμε $\left \| f \right \|_{p}=(\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\left | f(x) \right |^{p}dx)^{\frac{1}{p}}$

(Αν και ισχύουν γενικότερα, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής)

1)Να δειχθεί ότι $1\leq p< q\Rightarrow \left \| f \right \|_{p}\leq \left \| f \right \|_{q}$

2)Αν και υπάρχει με $\left \| f\right \|_{q}\leq c\left \| f \right \|_{p}$

τότε υπάρχει σταθερά ώστε $\left \| f \right \|_{p}\leq C\left \| f \right \|_{1}$

1) Παίρνοντας $\displaystyle{a= \frac {q}{q-p}, \, b= \frac {q}{p}$ οπότε $\displaystyle{\frac {1}{a} + \frac {1}{b} =1$ , έχουμε από την Holder

$\displaystyle{ \left \| f \right \|_{p} ^p = \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\left | f(x) \right |^{p}dx \le \frac{1}{2\pi } \left ( \int_{0}^{2\pi } 1^a dx \right ) ^ {1/a} \left ( \int_{0}^{2\pi }\left | f(x) \right |^{pb}dx \right )^{1/b}}$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2\pi } \left (2\pi \right ) ^ {1/a} \left ( \int_{0}^{2\pi }\left | f(x) \right |^{q}dx \right )^{p/q} = \frac{ \left (2\pi \right ) ^ {1/a}}{2\pi } \left \| f\right \|_{q} ^ {p} }$

από όπου το ζητούμενο παίρνοντας

ρίζα.

2) Πάλι με Holder αλλά αυτή την φορά γράφοντας

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi }\left | f(x) \right |^{p}dx = \int_{0}^{2\pi }\left | f(x) \right |^{(q-p)/(q-1)}\left | f(x) \right |^{q(p-1)/(q-1)}dx }$

και χρησιμοποιώντας τα $\displaystyle{a = \frac {q-1}{q-p}, \, b = \frac {q-1}{p-1}$ οπότε $\displaystyle{ \frac {1}{a} + \frac {1}{b} =1$

Θα καταλήξουμε (αφήνω τις πράξεις ρουτίνας αλλά κοπιαστικής πληκτρολόγησης) στην παρακάτω όπου συμβολίζω με

όλους τους παράγοντες που έχουν $\pi$ μέσα τους (που τους μάζεψα όλους μαζί, μια και η ακριβής τιμή δεν χρειάζεται):

$\displaystyle{\left \| f \right \|_{p}^p \leq d \left \| f \right \|_{1} ^{(q-p)(q-1)} \left \| f\right \|_{q} ^ {q(p-1)/(q-1)} \le \left \| f \right \|_{1} ^{(q-p)(q-1)}\left ( c \left \| f\right \|_{p} \right ) ^ {q(p-1)/(q-1)}$

Πηγαίνοντας τον τελευταίο παράγοντα στο αριστερό μέλος, έπεται

$\displaystyle{\left \| f \right \|_{p}^{(q-p)/(q-1)} \leq d \left \| f \right \|_{1} ^{(q-p)(q-1)} c ^ {q(p-1)/(q-1)}$

από όπου το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για να μην ταλαιπωρήσω τον λύτη δεν έδωσα την τιμή της σταθεράς

Η τιμή της είναι $C=c^{\frac{(p-1)q}{q-p}}$
που την δίνει η απόδειξη του Μιχάλη.

mathematica.gr

Σύγκριση νορμών συνάρτησης

Σύγκριση νορμών συνάρτησης

Re: Σύγκριση νορμών συνάρτησης

Re: Σύγκριση νορμών συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση