Γενικευμένο ολοκλήρωμα

MoV · #1

Καλημέρα σας και πολλά συγχαρητήρια για την εξαιρετική δουλεία σας.

Έστω $f:[a,+\infty)\rightarrow R$ , ολοκληρώσιμη (f:

φραγμένη

σε καθε διάστημα $[a,b]\subset [a,+\infty)$ .
Άν $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t) dt = l\in R$ και το $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ υπάρχει τότε:
δείξτε ότι $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ .

#2

Ξέρουμε ότι
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=\ell$ (1)
δηλαδή ότι με με $F\left( x\right) =\int_{a} }^{x}f\left( t\right) dt$
είναι $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =\ell$
'Αρα και $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F\left( x+m\right) =\ell$ για κάθε

'Αρα
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int_{a }^{x+m}f\left( t\right) dt=\ell$ (2)
Από τις (1), (2) έχουμε
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int_{x}^{x+m}f\left( t\right) dt=0$
Ας ονομάσουμε

το όριο της

στο $+\infty$
Θα αποκλείσουμε την περίπτωση r>0

. H περίπτωση r<0

αποκλείεται δουλεύοντας με την

. Για $x>x_{0}$ ( $x_{0}$ κατάλληλος) θα είναι
$f\left( x\right) >\frac{r}{2}$
και επομένως για $x>x_{0}$ θα είναι
$\int_{x}^{x+m}f\left( t\right) dt>m\frac{r}{2}$ (3)
Το άτοπο προκύπτει παίρνοντας m>0

και όρια για $x\rightarrow +\infty$ στην (3).
Άρα $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0$ .

Μαυρογιάννης

#3

Αν θέλουμε να την κάνουμε "λυκειακή"Δίνουμε την f συνεχή. Τότε με ΘΜΤολ έχουμε
$F(x)=(x-a)f(\xi )$ για κάποιο ξ με $a<\xi <x$
Τότε $F(2x)-F(x)=xf(k)\to 0$ αφού όταν $x\to +\infty , F(x)\to L\in R$
Επειδή όμως x<k<2x

και $k\to +\infty$
Άρα $xf(k)\to 0 , \frac{1}{x}\to 0$ σημαίνει ότι οταν το

αρα και το $k\to +\infty$ και το $x\frac{1}{x}f(k)=f(k) \to 0$ και αφού το οριο υπάρχει λόγω της μοναδικότητάς του συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$

mathematica.gr

Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση