Κύλινδροι, δυαδικές ακολουθίες και μέτρο

Mulder · #1

Έστω $X=\{0,1\}^{\mathbb{N}},$ όπου $\mathbb{N}=\{1,2,...\}$ , δηλαδή $x\in X \Leftrightarrow x=(x^1,x^2,...), x^i \in \{0,1\}$ για κάθε i=1,2,..

.

Ένα κυλινδρικό σύνολο είναι ένα σύνολο της μορφής $A(y^1,...,y^n)=\{x|\forall i\leq n, x^i=y^i\},$ για κάποια πεπερασμένη ακολουθία $(y^1,...,y^n) \in \{0,1\}^n$ . Ορίζουμε $\mu(A(y^1,...,y^n)) = 2^{-n}$ .

Έστω $\mathcal{A}$ η συλλογή όλων των κυλινδρικών συνόλων και έστω $\sigma(\mathcal{A})$ η μικρότερη σ-άλγεβρα που περιέχει όλα τα κυλινδρικά σύνολα. Ορίζουμε το εξωτερικό μέτρο $\mu^*$ σε κάθε $B\subset X$ ως το infimum του $\sum \limits_{i=1}^\infty \mu(A_i)$ πάνω σε όλες τις συλλογές A_1,A_2,...

από κυλινδρικά σύνολα που καλύπτουν το

.

α) Να δειχτεί ότι το $\mu^*$ είναι σ-προσθετικό μέτρο στην $\sigma(\mathcal{A}).$

β) Για κάθε συγκεκριμένο $A \in \sigma(\mathcal{A})$ και κυλινδρικό σύνολο

ορίζουμε $w_A(C)=\min \left ( \frac{\mu^*(A\cap C)}{\mu^*(C)}, \frac{\mu^*(C \setminus A)}{\mu^*(C)} \right ).$ Για κάθε i=1,2,...

ορίζουμε

να είναι η συλλογή όλων των 2^i

κυλινδρικών συνόλων (βάθους

) ορισμένων από τις 2^i

διαφορετικές ακολουθίες $(y^1,...,y^i)\in \{0,1\}^i$ . Ορίζουμε $w(i)= \frac{1}{2^i} \sum \limits_{C \in C_i} w_A(C)$ . Να δειχθεί ότι $\lim \limits_{i\to \infty} w(i)=0.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Mulder έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2020 4:56 pm
Έστω $X=\{0,1\}^{\mathbb{N}},$ όπου $\mathbb{N}=\{1,2,...\}$ , δηλαδή $x\in X \Leftrightarrow x=(x^1,x^2,...), x^i \in \{0,1\}$ για κάθε .

Ένα κυλινδρικό σύνολο είναι ένα σύνολο της μορφής $A(y^1,...,y^n)=\{x|\forall i\leq n, x^i=y^i\},$ για κάποια πεπερασμένη ακολουθία $(y^1,...,y^n) \in \{0,1\}^n$ . Ορίζουμε $\mu(A(y^1,...,y^n)) = 2^{-n}$ .

Έστω $\mathcal{A}$ η συλλογή όλων των κυλινδρικών συνόλων και έστω $\sigma(\mathcal{A})$ η μικρότερη σ-άλγεβρα που περιέχει όλα τα κυλινδρικά σύνολα. Ορίζουμε το εξωτερικό μέτρο $\mu^*$ σε κάθε $B\subset X$ ως το infimum του $\sum \limits_{i=1}^\infty \mu(A_i)$ πάνω σε όλες τις συλλογές από κυλινδρικά σύνολα που καλύπτουν το .

α) Να δειχτεί ότι το $\mu^*$ είναι σ-προσθετικό μέτρο στην $\sigma(\mathcal{A}).$

β) Για κάθε συγκεκριμένο $A \in \sigma(\mathcal{A})$ και κυλινδρικό σύνολο ορίζουμε $w_A(C)=\min \left ( \frac{\mu^*(A\cap C)}{\mu^*(C)}, \frac{\mu^*(C \setminus A)}{\mu^*(C)} \right ).$ Για κάθε ορίζουμε να είναι η συλλογή όλων των κυλινδρικών συνόλων (βάθους ) ορισμένων από τις διαφορετικές ακολουθίες $(y^1,...,y^i)\in \{0,1\}^i$ . Ορίζουμε $w(i)= \frac{1}{2^i} \sum \limits_{C \in C_i} w_A(C)$ . Να δειχθεί ότι $\lim \limits_{i\to \infty} w(i)=0.$

Το α) είναι στην ουσία το μέτρο που ορίζεται σε αριθμήσιμο πλήθος χώρων μέτρου.
Εδω είναι μάλιστα χώροι πιθανοτήτων.
Η κατασκευή είναι γνωστή (αν και δεν βρίσκεται σε όλα τα βιβλία).
Μπορούμε όμως στην συγκεκριμένη περίπτωση να το κανουμε ως εξής:
Σε κάθε ακολουθία αντιστοιχούμε τον πραγματικό αριθμό του [0,1]

βάσει του δυαδικού
συστήματος αρίθμησης.
Ο χώρος μας είναι λοιπόν το [0,1]

.
Κάθε κυλινδρικό σύνολο (πρώτη φορά βλέπω αυτή την ορολογία)
αντιστοιχεί σε ένα δυαδικό διάστημα.
Δηλαδή σε ένα σύνολο της μορφής $[\frac{m}{2^{n}},\frac{m+1}{2^{n}})$
Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η μικρότερη σ-άλγεβρα που τα περιέχει είναι τα Borel
οπότε έχουμε το μέτρο Lebesgue ορισμένο πάνω στα Borel.

Συμπλήρωμα.
Υπάρχει ένα πρόβλημα με τις ακολουθίες που από κάπου και πέρα είναι

.
Επειδή αυτές είναι αριθμήσιμες το πλήθος έχουν μέτρο

και το πρόβλημα λύνεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mulder έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2020 4:56 pm

β) Για κάθε συγκεκριμένο $A \in \sigma(\mathcal{A})$ και κυλινδρικό σύνολο ορίζουμε $w_A(C)=\min \left ( \frac{\mu^*(A\cap C)}{\mu^*(C)}, \frac{\mu^*(C \setminus A)}{\mu^*(C)} \right ).$ Για κάθε ορίζουμε να είναι η συλλογή όλων των κυλινδρικών συνόλων (βάθους ) ορισμένων από τις διαφορετικές ακολουθίες $(y^1,...,y^i)\in \{0,1\}^i$ . Ορίζουμε $w(i)= \frac{1}{2^i} \sum \limits_{C \in C_i} w_A(C)$ . Να δειχθεί ότι $\lim \limits_{i\to \infty} w(i)=0.$

Θα τα θεωρήσω στο [0,1]

.
Θα αλλάξω και τους συμβολισμούς.
Αντί
$w(i)= \frac{1}{2^i} \sum \limits_{C \in C_i} w_A(C)$
θα γράφω
$w(A)(i)= \frac{1}{2^i} \sum \limits_{C \in C_i} w_A(C)$

Αντί για το μέτρο $\mu^*$ θα γράφω

Ειναι εύκολο να αποδειχθούν τα εξής:

1) $w(A)(i)= w(A^{c})(i)$

2) $w(A)(i)\leqmin(m(A),m(A^{c}))$

3) $w(A\cup B)(i)\leq w(A)(i)+w( B)(i)$

4)Aν

είναι πεπερασμένη ένωση δυαδικών διαστημάτων που το μικρότερο έχει μήκος $\frac{1}{2^{n}}$
τότε για i>n

είναι

.
Αυτό συμβαίνει γιατί δύο δυαδικά διαστήματα έχουν τομή κενό είτε το ένα είναι μέσα στο άλλο.

Εστω $\epsilon > 0$

Υπάρχει

συμπαγές ώστε $K\subseteq A,m(A-K)< \epsilon$
Ετσι λόγω των παραπάνω ιδιοτήτων θα είναι

$w(A)(i)\leq w(K)(i)+w(A-K)(i)< \epsilon +w(K)(i)$ (10)

Αλλά $w(K)(i)= w(K^{c})(i)$

Το $K^{c}$ είναι ανοικτό.
Μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει σύνολο

που είναι πεπερασμένη ένωση δυαδικών διαστημάτων
και
$B\subseteq K^{c},m( K^{c}-B)< \epsilon$

προκύπτει ότι

$w(K^{c})(i)\leq w(B)(i)+w(K^{c}-B)(i)< \epsilon +w(B)(i)$ (20)

Οι (10),(20) και το 4) δίνουν ότι

$w(A)(i)< 2\epsilon ,i> i_{0}$

και έχουμε το ζητούμενο.

mathematica.gr

Κύλινδροι, δυαδικές ακολουθίες και μέτρο

Κύλινδροι, δυαδικές ακολουθίες και μέτρο

Re: Κύλινδροι, δυαδικές ακολουθίες και μέτρο

Re: Κύλινδροι, δυαδικές ακολουθίες και μέτρο

Μέλη σε σύνδεση