Ασυνεχής Συνάρτηση

sot arm · #1

Με αφορμή μια άσκηση.

Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}$

#2

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2020 12:18 am
Με αφορμή μια άσκηση.

Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}$

Είναι γνωστό ότι, με χρήση του Αξιώματος Επιλογής, υπάρχουν ασυνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση Cauchy, f(x+y)=f(x)+f(y)

. Μία τέτοια συνάρτηση απαντά στο ερώτημα αφού $f(\frac{x}{2})= \frac{f(x)}{2}$ (πάρε x=y

στην Cauchy).

Συγκεκριμένα, και ως γνωστόν, αν $\{e\}\cup\{e_\lambda\ / \lambda \in \Lambda \}$ βάση Hamel του $\mathbb R:\mathbb Q$ , η $f(re+\sum r_\lambda e_\lambda) = r$ όπου το άθροισμα είναι πεπερασμένο και οι συντελεστές ρητοί, κάνει την δουλειά.

Κάτι τέτοιο ζητάς ή θέλεις απλό χειροπιαστό παράδειγμα, χωρίς Αξίωμα Επιλογής;

sot arm · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2020 2:21 am

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Απρ 17, 2020 12:18 am
Με αφορμή μια άσκηση.

Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}$
Είναι γνωστό ότι, με χρήση του Αξιώματος Επιλογής, υπάρχουν ασυνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση Cauchy, . Μία τέτοια συνάρτηση απαντά στο ερώτημα αφού $f(\frac{x}{2})= \frac{f(x)}{2}$ (πάρε στην Cauchy).

Συγκεκριμένα, και ως γνωστόν, αν $\{e\}\cup\{e_\lambda\ / \lambda \in \Lambda \}$ βάση Hamel του $\mathbb R:\mathbb Q$ , η $f(re+\sum r_\lambda e_\lambda) = r$ όπου το άθροισμα είναι πεπερασμένο και οι συντελεστές ρητοί, κάνει την δουλειά.

Κάτι τέτοιο ζητάς ή θέλεις απλό χειροπιαστό παράδειγμα, χωρίς Αξίωμα Επιλογής;

Δεν πήγε το μυαλό μου στην Cauchy είναι η αλήθεια, εκ των υστέρων απορώ γιατί κιόλας, αλλά κάτι τέτοιο είχα κατά νου.

Ο λόγος που το πρότεινα είναι ότι δεν υπάρχει απλό χειροπιαστό παράδειγμα και χρειάζεται το αξίωμα της επιλογής η κατασκευή, οπότε μου φάνηκε ενδιαφέρον. Αλλά αφού περνάει κατευθείαν από την Cauchy (που απλά δεν το δα) δεν ήταν εν τέλει κάτι το ιδιαίτερο.

mathematica.gr

Ασυνεχής Συνάρτηση

Ασυνεχής Συνάρτηση

Re: Ασυνεχής Συνάρτηση

Re: Ασυνεχής Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση