Σύγκλιση ή απόκλιση

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ακολουθία τέτοια ώστε η σειρά $\sum a_n$ συγκλίνει. Να μελετηθεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum \sin a_n$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 20, 2022 11:42 am
Έστω ακολουθία τέτοια ώστε η σειρά $\sum a_n$ συγκλίνει. Να μελετηθεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum \sin a_n$ .

Ωραίο.
Βέβαια υπάρχει ασάφεια.
Τι σημαίνει να μελετηθεί ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.

Αν δεν απαντηθεί θα γράψω την σκέψη μου.

sot arm · #3

Ενδιαφέρον έχει γενικώς και το εξής:

Έστω $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ πραγματικών αριθμών με $\sum a_{n}$ να συγκλίνει , να συγκλίνει και η:

$\displaystyle{ \sum f(a_{n})}$

Να δειχθεί ότι υπάρχει $\varepsilon >0$ τέτοιο ώστε $f(x)= \lambda x$ , $\forall x \in (-\varepsilon , \varepsilon)$ για κάποιον $\lambda \in \mathbb{R}$

Από το παραπάνω το ζητούμενο είναι άμεσο , και γενικώς ερωτήματα αντίστοιχης φύσεως. Όταν βρω χρόνο αν δεν γραφτεί θα γράψω απόδειξη.

Tolaso J Kos · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 20, 2022 1:57 pm
Τι σημαίνει να μελετηθεί ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Υπάρχει ακολουθία τέτοια ώστε η σειρά $\sum a_n$ συγκλίνει και η σειρά $\sum \sin a_n$ αποκλίνει
.

Επαναδιατυπώνω λοιπόν:

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 20, 2022 11:42 am
Έστω ακολουθία τέτοια ώστε η σειρά $\sum a_n$ συγκλίνει. Αν $a_n \geq 0$ τότε να δειχθεί ότι η σειρά $\sum \sin a_n$ συγκλίνει , σε διαφορετική περίπτωση να δειχθεί ότι η $\sum \sin a_n$ αποκλίνει.

Tolaso J Kos · #5

sot arm έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 20, 2022 2:36 pm
Ενδιαφέρον έχει γενικώς και το εξής:

Έστω $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ πραγματικών αριθμών με $\sum a_{n}$ να συγκλίνει , να συγκλίνει και η:

$\displaystyle{ \sum f(a_{n})}$

Να δειχθεί ότι υπάρχει $\varepsilon >0$ τέτοιο ώστε $f(x)= \lambda x$ , $\forall x \in (-\varepsilon , \varepsilon)$ για κάποιον $\lambda \in \mathbb{R}$

Από το παραπάνω το ζητούμενο είναι άμεσο , και γενικώς ερωτήματα αντίστοιχης φύσεως. Όταν βρω χρόνο αν δεν γραφτεί θα γράψω απόδειξη.

Σωτήρη, το έχω θέσει πριν 7 χρόνια στο θέμα εδώ. Η απόδειξη από το Βαγγέλη Μουρούκο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Επαναδιατυπώνω λοιπόν:

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 20, 2022 11:42 am
Έστω ακολουθία τέτοια ώστε η σειρά $\sum a_n$ συγκλίνει. Αν $a_n \geq 0$ τότε να δειχθεί ότι η σειρά $\sum \sin a_n$ συγκλίνει , σε διαφορετική περίπτωση να δειχθεί ότι η $\sum \sin a_n$ αποκλίνει.

Αν $a_n \geq 0$ επειδή $a_{n}\rightarrow 0$ για $n\geq n_0$ είναι $0\leq\sin a_n\leq a_n$
οπότε έχουμε την σύγκλιση.

Θα πρέπει να δώσουμε ένα παράδειγμα ώστε η $\sum a_n$ συγκλίνει και η $\sum \sin a_n$ αποκλίνει.
Από Taylor έχουμε

$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{6}+q(x)\frac{x^4}{24},|q(x)|\leq 1$

Αρκεί να βρούμε a_n

ώστε η $\sum a_n$ συγκλίνει ,η $\sum (a_n)^4$ συγκλίνει απόλυτα και η $\sum (a_n)^3$ αποκλίνει.
Θέτουμε
$\displaystyle a_n=\frac{\cos n\frac{2\pi }{3}}{\sqrt[3]{n}}$

Από Dirichlet η $\sum a_n$ συγκλίνει ,η $\sum (a_n)^4$ συγκλίνει απόλυτα ενώ η $\sum (a_n)^3$ αποκλίνει.
Το τελευταίο προκύπτει από την σχέση

$\displaystyle (a_n)^3=\frac{(\cos n\frac{2\pi }{3})^3}{n}=\frac{1}{4}\frac{\cos 2\pi n+3\cos n\frac{2\pi }{3}}{n}=\frac{1}{4}\frac{1+3\cos n\frac{2\pi }{3}}{n}$

mathematica.gr

Σύγκλιση ή απόκλιση

Σύγκλιση ή απόκλιση

Re: Σύγκλιση ή απόκλιση

Re: Σύγκλιση ή απόκλιση

Re: Σύγκλιση ή απόκλιση

Re: Σύγκλιση ή απόκλιση

Re: Σύγκλιση ή απόκλιση

Μέλη σε σύνδεση