Ὅριο ἀνάμεσα στὸ κατώτερο καὶ ἀνώτερο ὅριο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Πρόβλημα. Ἔστω $f:(0,\infty)\to\mathbb R,$ συνεχὴς, καὶ ἔστω

$\displaystyle{ \lim\inf_{x\to\infty}f(x) \le s \le \lim\sup_{x\to\infty}f(x). }$

Δείξατε ὅτι ὑπάρχει καὶ αύξουσα ἀκολουθία ἀκεραίων $\{k_n\}$ , ὥστε $f(k_n x)\to s$ .

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

Dimessi · #3

Όμορφο πρόβλημα. Ως αυθεντικός και φανατικός αναλύστας δεν πρόκειται να μη βάλω τη λύση μου.
Για κάθε $n\in \mathbb{N},$ θέτουμε $\varepsilon _{n}=\frac{1}{n}.$ Επειδή $s\leq \displaystyle \lim \sup _{x\rightarrow \infty}f\left ( x \right ),$ έπεται πως υπάρχουν άπειρα αρκούντως μεγάλα σημεία $A_{n},$ τέτοια ώστε $f\left ( A_{n} \right )> s+\varepsilon _{n}.$ Επειδή $s\geq \displaystyle \lim \inf _{x\rightarrow \infty}f\left ( x \right ),$ έπεται πως υπάρχουν άπειρα αρκούντως μεγάλα σημεία στα οποία η τιμή της

είναι $<s-\varepsilon_{n}.$ Άρα, μπορούμε να επιλέξουμε $B_{n}>A_{n},$ έτσι ώστε $f\left ( B_{n} \right )< s-\varepsilon _{n}.$ Τώρα, αφού η

είναι συνεχής στο $[A_{n},B_{n}]$ με $f\left ( A_{n} \right )> s+\varepsilon _{n}> s> s-\varepsilon _{n}> f\left ( B_{n} \right ),$ από το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών υπάρχει $c_{n}\in \left ( A_{n},B_{n} \right ),$ τέτοιο ώστε $f(c_{n})=s.$ Άρα, μπορούμε να επιλέξουμε $A_{n}\rightarrow \infty,$ έτσι ώστε $c_{n}\rightarrow \infty.$ Η

είναι ομοιόμορφα συνεχής σε κάθε κλειστό διάστημα που είναι υποσύνολο του $(0,\infty),$ άρα υπάρχει $\delta _{n}> 0,$ τέτοιο ώστε $\left | y-c_{n}\right |< \delta _{n}\Longrightarrow \left | f\left ( y \right )-s\right |< \varepsilon _{n}.$ Για κάθε

και κάθε θετικό ακέραιο

ορίζω $S_{n,k}:=\left\{ x\in \left ( 0,1 \right ]:\left | kx-c_{n}\right |< \delta _{n}\right\}.$ Για κάθε σταθερό n,k,

το σύνολο $S_{n,k}$ είναι τομή του (0,1]

με ένα διάστημα μήκους $\displaystyle \frac {2\delta _{n}}{k},$ εν ολίγοις $\displaystyle \left ( \frac{c_{n}-\delta _{n}}{k},\frac{c_{n}+\delta _{n}}{k} \right )\cap \left ( 0,1 \right ],$ όταν το δεύτερο διάστημα τέμνει το (0,1].

Τότε για σταθερό $n,\displaystyle \textrm{length}\left ( S_{n,k} \right )=\frac{2\delta _{n}}{k},$ όταν το δεύτερο διάστημα τέμνει το (0,1].

Θεωρούμε το σύνολο δεικτών $\left ( n,k \right )\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ και την ένδειξη $1_{S_{n,k}}\left ( x \right ).$ Επειδή η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο $\left ( 0,1 \right ]\times \mathbb{N\times \mathbb{N}},$ με το μέτρο Lebesque στο

είναι επιτρεπτή η εφαρμογή του Θεωρήματος του Fubini, για να πάρουμε $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}1_{S_{n,k}}\left ( x \right )dx=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\textrm{length}\left ( S_{n,k} \right )\geq \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=K_{n}}^{\infty}\frac{2\delta _{n}}{k}=2\sum_{n=1}^{\infty}\delta _{n}\sum_{k=K_{n}}^{\infty} \frac{1}{k}=+\infty,$ για κατάλληλα πεπερασμένα $K_{n}.$ Άρα, $\displaystyle \sum_{n,k}1_{S_{n,k}}\left ( x \right )=+\infty,$ για σχεδόν κάθε

και συνεπώς, για σχεδόν κάθε $x\in \left ( 0,1 \right ],$ υπάρχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη (n,k),

τέτοια ώστε $\left | kx-c_{n}\right |< \delta _{n}.$ Τώρα, μπορούμε να επιλέξουμε ένα $x \in (0,1],$ για το οποίο υπάρχουν άπειρα τέτοια ζεύγη. Τότε, για άπειρα

μπορούμε να επιλέξουμε έναν αντίστοιχο

τέτοιον ώστε $\left | kx-c_{n}\right |< \delta _{n}.$ Για αυτά τα

$\displaystyle \left | f\left ( kx \right )-s\right |\leq \sup _{\left | y-c_{n}\right |< \delta _{n}}\left | f\left ( y \right )-s\right |< \frac{1}{n} \left ( \ast \right ).$ Από την $\left (\ast \right)$ συμπεραίνουμε πως μπορούμε να κατασκευάσουμε μια αύξουσα ακολουθία ακεραίων $\left\{ k_{n}\right\},$ τέτοια ώστε $f\left ( k_{n}x \right )\rightarrow s,$ που ολοκληρώνει την απόδειξη.

mathematica.gr

Ὅριο ἀνάμεσα στὸ κατώτερο καὶ ἀνώτερο ὅριο

Ὅριο ἀνάμεσα στὸ κατώτερο καὶ ἀνώτερο ὅριο

Re: Ὅριο ἀνάμεσα στὸ κατώτερο καὶ ἀνώτερο ὅριο

Re: Ὅριο ἀνάμεσα στὸ κατώτερο καὶ ἀνώτερο ὅριο

Μέλη σε σύνδεση