Σύγκλιση ολοκληρώματος 04

#1

Για $n\in{\mathbb{N}}$ να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int_{-1}^{1}\log^n({1-x})\log^n({1+x})\,{\rm{d}}x$ .

BAGGP93 · #2

Αποσύρω λόγω λάθους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 25, 2025 4:30 am
Για $n\in{\mathbb{N}}$ να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int_{-1}^{1}\log^n({1-x})\log^n({1+x})\,{\rm{d}}x$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #4

Μετά την υπόδειξη του Σταύρου (που έμμεσα είναι και η λύση) απλά να συμπληρώσω ότι η αυτή η οικογένεια ολοκληρώματων είναι καλά μελετημένη στη βιβλιογραφία. Πρόσφατα την είχαμε δει και εδώ.

Και μερικά σχόλια:

Για τον υπολογισμό λογαριθμικών ολοκληρωμάτων όπως των παραπάνω απαιτείται άριστη γνώστη των αθροισμάτων Euler.
Για μικρές τιμές του βοηθάνε τα αναπτύγματα ταυτοτήτων όπου ουσιαστικά σπάνε το ολοκλήρωμα σε μικρότερα components.

Στο σύνδεσμο που έδωσα βλέπουμε παράδειγμα για n=2

.

#5

Δίνουμε μια λύση:

Εύκολα αποδεικνύεται ότι, για $n\in{\mathbb{N}}$ ισχύει*

$\begin{aligned} \int_{0}^{1}x\log^n({1-x})\,{\rm{d}}x=({-1})^{n}\,n!\,\big({1-2^{-n-1}}\big)\,.\quad(1) \end{aligned}$

Θεωρούμε την συνάρτηση $g\colon({-1,1})\longrightarrow\mathbb{R}$ με τύπο

$g(x)=\begin{cases} -x\log^n(1+x)\,,& -1< x\leqslant 0\\ x\log^n(1-x)\,,& \hspace{0.37cm}0<x< 1 \end{cases}$ .

Για κάθε $x\in({-1,1})$ ισχύει

$\begin{aligned} &g(x)\leqslant \log^n({1-x})\log^n({1+x})\leqslant 0\,, &&\text{\gr αν}\; n \; \text{\gr περιττός,}&&&(2)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &0\leqslant \log^n({1-x})\log^n({1+x})\leqslant g(x)\,, &&\text{\gr αν}\; n \; \text{\gr άρτιος.}&&&(3) \end{aligned}$

Επειδή

$\begin{aligned} \int_{-1}^{1}g(x)\,{\rm{d}}x&=\int_{-1}^{0}g(x)\,{\rm{d}}x+\int_{0}^{1}g(x)\,{\rm{d}}x\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{-1}^{0}-x\log^n({1+x})\,{\rm{d}}x+\int_{0}^{1}x\log^n(1-x)\,{\rm{d}}x\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{\begin{subarray}{c} {t\,=\,-x} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {-{\rm{d}}{t}\,=\,{\rm{d}}x} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}{=\!=\!=\!=\!=}\int_{0}^{1}t\log^n({1-t})\,{\rm{d}}{t}+\int_{0}^{1}x\log^n(1-x)\,{\rm{d}}x\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{(1)}{=\!=}2\,({-1})^{n}\,n!\,\big({1-2^{-n-1}}\big)\,, \end{aligned}$

από τις ανισότητες (2)

,

προκύπτει ότι το $\bigintssss_{\,-1}^{1}\log^n({1-x})\log^n({1+x})\,{\rm{d}}x$ συγκλίνει για κάθε $n\in{\mathbb{N}}$ .

(*) Για τις ανάγκες της άσκησης αρκεί να αποδειχθεί η απλή σύγκλιση του $\bigintssss_{\,0}^{1}x\log^n({1-x})\,{\rm{d}}x$ .

mathematica.gr

Σύγκλιση ολοκληρώματος 04

Σύγκλιση ολοκληρώματος 04

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 04

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 04

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 04

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 04

Μέλη σε σύνδεση