Ταυτότητα

mick7 · #1

Να δείξετε την σχέση

$\displaystyle \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{2}{n} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor x + \tfrac{n-1}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor$

#2

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 11, 2025 6:40 pm
Να δείξετε την σχέση

$\displaystyle \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{2}{n} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor x + \tfrac{n-1}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor$

Πρόκειται για πολλή γνωστή ταυτότητα. Συγκεκριμένα, πρόκειται για την ταυτότητα του Hermite, που υπάρχει σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Διακριτών Μαθηματικών που έχουν κεφάλαιο για την συνάρτηση "ακέραιο μέρος". Βλέπε εδώ.

Ας προσθέσω ότι η ταυτότητα δεν έχει ΚΑΜΜΙΑ σχέση με Ανάλυση, στον φάκελο της οποίας αναρτήθηκε. Η Ανάλυση είναι ο κλάδος των Μαθηματικών όπου μελετάμε τις ιδιότητες των ορίων. Τα Διακριτά Μαθηματικά είναι το ΑΛΛΟ ΑΚΡΟ, δηλαδή είναι ο κλάδος των Μαθηματικών όπου μελετάμε ιδιότητες όπου λείπει τελείως η έννοια του ορίου. Εξ ορισμού.

Tolaso J Kos · #3

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 11, 2025 6:40 pm
Να δείξετε την σχέση

$\displaystyle \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{2}{n} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor x + \tfrac{n-1}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor$

Ξεκινάμε με την απλή παρατήρηση ότι $x = \lfloor x \rfloor + \{x \}$ . Τώρα, υπάρχει $m \in \mathbb{N} \mid m \in \left\{ 0, 1, \dots, n-1 \right\}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\frac{m}{n}\leq \{x \} < \frac{m+1}{n}}$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{2}{n} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor x + \tfrac{n-1}{n} \right\rfloor & = \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor \\ & = \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \left\lfloor x \right\rfloor + \left\{ x \right\} + \frac{k}{n} \right\rfloor \\ & = n \left\lfloor x \right\rfloor + \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \left\{ x \right\} + \frac{k}{n} \right\rfloor \\ & = n \left\lfloor x \right\rfloor + \sum_{k=0}^{n-1-m} \left\lfloor \left\{ x \right\} + \frac{k}{n} \right\rfloor + \\ & \quad \quad \quad + \sum_{k=n-m}^{n-1} \left\lfloor \left\{ x \right\} + \frac{k}{n} \right\rfloor \end{aligned}}$
Όμως, για $k \in \left\{ 0, 1, \dots, n-1-m \right\}$ είναι $\displaystyle{\left\{ x \right\} + \frac{k}{n} < \frac{m+k+1}{n} < 1}$ . Κατά συνέπεια, $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1-m} \left\lfloor \left\{ x \right\} + \frac{k}{n} \right\rfloor =0}$ . Επίσης, για $k \in \left\{ n-m, \dots, n-1 \right\}$ είναι $\displaystyle{1 \leq \frac{k+m+1}{n} < \left\{ x \right\} + \frac{k}{n} <2}$ . Κατά συνέπεια, $\displaystyle{\sum_{k=n-m}^{n-1} \left\lfloor \left\{ x \right\} + \frac{k}{n} \right\rfloor = m}$ . Τέλος,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor & = n \left\lfloor x \right\rfloor + m \\ & = n \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor n \left\{ x \right\} \right\rfloor \\ & = \left\lfloor n \left\lfloor x \right\rfloor + n \left\{ x \right\} \right\rfloor \\ & = \left\lfloor nx \right\rfloor \end{aligned}}$

#4

Τόλη, παρατήρησε ότι αυτά που γράφεις, με μικρές παραλλαγές, είναι ήδη γραμμένα στην παραπομπή (Wikipedia) που παρέθεσα.

Ας προσθέσω ότι εκτός από την Wikipedia, υπάρχει σχεδόν ίδια απόδειξη σε όλες τις πηγές που περιέχουν την κοινότατη αυτή άσκηση.

Tolaso J Kos · #5

Μιχάλη,

δε πρόσεξα καν ότι σχολίασες. Πρέπει να γράφαμε ταυτόχρονα. Πάντως το παραπάνω είναι η standard απόδειξη.

Ταυτότητα

Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση