AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Antonis Loutraris · #1

Καλησπέρα..

Καταρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω απο καρδιάς έστω και καθυστερημένα για τις ευχές στην ονομαστική μου εορτή τα μέλη του forum και ιδιαίτερα τον Αλέξανδρο(cretanman) και τον Αντώνη Σπυριδάκη και να τους ευχηθώ κι εγώ με τη σειρά μου όπως και σε όλους υγεία και κάθε επιτυχία.

Παραθέτω δύο όμορφες ασκήσεις Θεωρίας μέτρου..

1)Δείξτε ότι δεν υπάρχει άπειρη και αριθμήσιμη σ-άλγεβρα υποσυνόλων κάποιου συνόλου.

2)Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[O,R]\rightarrow\mathbb{R}$ ,με συνεχή παράγωγο και f(0)=0

.Δείξτε ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{R}\mid f \mid^{2}\leq\frac{1}{2}R^{2}\int_{0}^{R}\mid f' \mid^{2}.}$

#2

Antonis Loutraris έγραψε:Καλησπέρα..

Καταρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω απο καρδιάς έστω και καθυστερημένα για τις ευχές στην ονομαστική μου εορτή τα μέλη του forum και ιδιαίτερα τον Αλέξανδρο(cretanman) και τον Αντώνη Σπυριδάκη και να τους ευχηθώ κι εγώ με τη σειρά μου όπως και σε όλους υγεία και κάθε επιτυχία.

Παραθέτω δύο όμορφες ασκήσεις Θεωρίας μέτρου..

1)Δείξτε ότι δεν υπάρχει άπειρη και αριθμήσιμη σ-άλγεβρα υποσυνόλων κάποιου συνόλου.

2)Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[O,R]\rightarrow\mathbb{R}$ ,με συνεχή παράγωγο και .Δείξτε ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{R}\mid f \mid^{2}\leq\frac{1}{2}R^{2}\int_{0}^{R}\mid f' \mid^{2}.}$

Η πρώτη έχει συζητηθεί εδώ.

Αντώνη είσαι στο μεταπτυχιακό του πιτσικέι,ε;

πρώτο ή δεύτερο έτος; ποιος διδάσκει τη θεωρία μέτρου;

Antonis Loutraris · #3

Κι εγώ σχέση ισοδυναμίας πάνω στα στοιχεία ενός συνόλου είχα κατα νού...

Αναστάση στο πιτσικέι,στο πρώτο έτος είμαι και όπως καταλαβαίνεις απο την ημερομηνία σε περίοδο εξεταστικής.

Θεωρία Μέτρου διδάσκει ο κoς Κολουντζάκης,ένας εξαιρετικός καθηγητής.

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Η πρώτη έχει συζητηθεί εδώ.

Ας δώσω μία διαφορετική απόδειξη από εκείνη:

Παίρνουμε αριθμήσιμα το πλήθος διαφορετικά στοιχεία $A_n\,$ της σ-άλγεβρας. Εξετάζοντας τα $A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n\,$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ...$ .
Τα $B_n = A_{n+1} -A_n\,$ είναι ξένα ανά δύο. Άρα οι αριθμήσιμες ενώσεις στοιχείων της μορφής $B_n\,$ είναι διαφορετικά ανά δύο μη-αριθμήσιμα το πλήθος στοιχεία της σ-άλγεβρας. ό.έ.δ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#5

Antonis Loutraris έγραψε:
2)Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[O,R]\rightarrow\mathbb{R}$ ,με συνεχή παράγωγο και .Δείξτε ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{R}\mid f \mid^{2}\leq\frac{1}{2}R^{2}\int_{0}^{R}\mid f' \mid^{2}.}$

Έχει ουσιαστικά συζητηθεί εδώ.

Η φυσιολογική απόδειξη είναι με την ορθογωνιότητα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Η ανισότητα ονομάζεται Wirtinger. Η παραπομπή που δίνει ο Jeronymo στο λινκ που παρέθεσα, είναι κατατοπιστική.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Καραδήμας · #6

Είναι πιο απλή: $\displaystyle{|f(x)|=|f(x)-f(0)|=\left |\int_0^xf^{\prime }(t)\,dt\right |\leq \sqrt{x}\left (\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\right )^{1/2}}$ και μετά $\displaystyle{\int_0^R|f(x)|^2dx\leq\int_0^Rx\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\,dx\leq \int_0^R|f^{\prime }(t)|^2dt\cdot \int_0^Rx\,dx=\frac{R^2}{2}\int_0^R|f^{\prime }(t)|^2dt.}$

Καραδήμας · #7

Παίρνουμε αριθμήσιμα το πλήθος διαφορετικά στοιχεία $A_n\,$ της σ-άλγεβρας. Εξετάζοντας τα $A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n\,$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ...$ .

Αυτό δεν είναι τόσο απλό, μπορεί το $A_{n+1}$ να περιέχεται στο $A_1\cup\cdots\cup A_n$ . Έτσι κάποια από τα B_n

μπορεί να είναι το κενό σύνολο.

#8

Καραδήμας έγραψε:Είναι πιο απλή: $\displaystyle{|f(x)|=|f(x)-f(0)|=\left |\int_0^xf^{\prime }(t)\,dt\right |\leq \sqrt{x}\left (\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\right )^{1/2}}$ και μετά $\displaystyle{\int_0^R|f(x)|^2dx\leq\int_0^Rx\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\,dx\leq \int_0^R|f^{\prime }(t)|^2dt\cdot \int_0^Rx\,dx=\frac{R^2}{2}\int_0^R|f^{\prime }(t)|^2dt.}$

Πολύ κομψή απόδειξη.

Αυτό που κερδίζουμε χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ότι μπορούμε να βελτιώσουμε την σταθερά από $\frac {R^2}{2} \,$ σε $\frac {R^2}{\pi^2}$ .

M.

Διόρθωση: Δεν ισχύει το περί $\frac {R^2}{\pi^2}$

Καραδήμας · #9

Δε νομίζω, για παράδειγμα αυτό δεν ισχύει για την f(x)=x

. Η Wirtinger έχει επιπλέον υπόθεση ότι η

μηδενίζεται και στα δύο άκρα.

#10

Καραδήμας έγραψε:
Παίρνουμε αριθμήσιμα το πλήθος διαφορετικά στοιχεία $A_n\,$ της σ-άλγεβρας. Εξετάζοντας τα $A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n\,$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ...$ .
Αυτό δεν είναι τόσο απλό, μπορεί το $A_{n+1}$ να περιέχεται στο $A_1\cup\cdots\cup A_n$ . Έτσι κάποια από τα μπορεί να είναι το κενό σύνολο.

Έχεις δίκιο, αλλά το θεώρησα απλό να δούμε ότι αυτό που λέω είναι, τελικά, "χωρίς βλάβη".
Πάντως παράλειψή μου.

Ευχαριστώ.

Μ.

#11

Καραδήμας έγραψε:Δε νομίζω, για παράδειγμα αυτό δεν ισχύει για την . Η Wirtinger έχει επιπλέον υπόθεση ότι η μηδενίζεται και στα δύο άκρα.

Έχεις πάλι δίκιο.
Παρασύρθηκα γιατί νόμιζα ότι φτάνει να είναι περιοδική.
Έκανα διόρθωση στο σφάλμα μου.

Μ.

AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Μέλη σε σύνδεση