Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Καραδήμας · #1

Δίνεται κλειστό σύνολο $F\subseteq {\mathbb R}$ που δεν έχει εσωτερικά σημεία. Να δειχτεί ότι υπάρχει γνήσια αύξουσα συνάρτηση $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ με συνεχή παράγωγο, τέτοια που $f^{\prime }(x)=0$ αν και μόνο αν $x\in F$ .

dement · #2

Θα κατασκευασουμε τη μη αρνητικη, συνεχη παραγωγο της συναρτησης (με συνολο ριζων το

) και στη συνεχεια, ολοκληρωνοντας την, εχουμε τη συναρτηση μας.

Στο $\mathbb{R} - F$ μπορει να οριστει η σχεση ισοδυναμιας $xCy \Longleftrightarrow [x,y] \cap F = \emptyset$ . Οι κλασεις ισοδυναμιας, λογω της κλειστοτητας του

, ειναι αριθμησιμο πληθος ανοικτων διαστηματων, ξενων μεταξυ τους. Οριζουμε την

ως εξης :

Αν το

ανηκει σε κλαση που ειναι ανοικτο διαστημα (a,b)

, τοτε $\displaystyle f(x) = \frac{b - a}{2} - \left| x - \frac{a+b}{2} \right|$

Αν ανηκει σε κλαση της μορφης $(a, + \infty)$ τοτε f(x) = x - a

, ενω αν ανηκει σε κλαση της μορφης $(- \infty, a)$ τοτε f(x) = a - x

. Αν, τελος, ολο το $\mathbb{R}$ ειναι κλαση (κανεις δε μας λεει πως το

δεν ειναι κενο) παιρνουμε f(x) = 1

παντου.

Τελος, σε ολα τα σημεια του

οριζουμε

. (Τα συνορα των κλασεων ειναι ολα στοιχεια του

).

Διαπιστωνουμε ευκολα οτι, εκ κατασκευης, αν $|x - y| < \epsilon$ τοτε $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ , οποτε η

ειναι (ομοιομορφα) συνεχης.

Ετσι, η $\displaystyle g(x) = \int_0^x f(t) dt$ ειναι λυση.

Δημητρης Σκουτερης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Νομίζω ότι η λύση του Δημήτρη μπορεί να διατυπωθεί πιο απλά.
(Η συνάρτηση είναι ίδια)
Θέτουμε $f(x)=dist(x,F)=inf\left \{ \left | x-y \right |:y\in F \right \}$
Είναι γνωστό ότι
1) Η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.
2) $f(x)=0\Leftrightarrow x\in F$
και όπως ο Δημήτρης η ζητούμενη είναι
$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$
Το ότι είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει από το γεγονός ότι το

δεν περιέχει διάστημα.

Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Re: Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Re: Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Μέλη σε σύνδεση