Ανισότητα και ολοκλήρωμα

mathxl · #1

Ας είναι $h :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ μια φθίνουσα συνάρτηση. Να δείξετε ότι $\displaystyle\ (\int_{0}^{\infty}\sqrt{h(x)}dx)^{2}\geq 2\int_{0}^{\infty}xh(x) dx .$

Αναπάντητη για την ώρα

Καραδήμας · #2

Μπορείς να υποθέσεις ότι η g^2=h

είναι συνεχής. Πάρε την $\displaystyle{G(t)=\left (\int_0^tg(x)\,dx\right )^2-2\int_0^txg^2(x)\,dx}$ και παραγώγισέ την. Είναι $G^{\prime }\geq 0$ - θα βγεί το $\displaystyle{\int_0^tg(x)\,dx-tg(t)}$ - και G(0)=0

. Μετά πάρε το $t\to\infty$ .

#3

mathxl έγραψε:Ας είναι $h :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ μια φθίνουσα συνάρτηση. Να δείξετε ότι $\displaystyle\ (\int_{0}^{\infty}\sqrt{h(x)}dx)^{2}\geq 2\int_{0}^{\infty}xh(x) dx .$

Αναπάντητη για την ώρα

Υπόδειξη:

Πρώτα από όλα (αν και δεν είναι απαραίτητο) για να μην έχουμε ρίζες βάλε $g= \sqrt{h}$

Εύκολα βλέπουμε (σύγκριση εμβαδών και χρήση της "g φθίνουσα") ότι
$\int_0^tg(t)dt \ge tg(t)\,$ (*)

Θέτουμε

$F(t) = (\int_0^tg(x)dx)^2 - 2\int_0^txg^2(x)dx$

και εύκολα βλέπουμε από την (*) ότι $F '(t) \ge 0$

άρα F αύξουσα, οπότε $F(t) \ge F(0) =0\,$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Edit: με πρόλαβε ο συνάδελφος Καραδήμας, όσο έγραφα. Το ενδιαφέρον είναι ότι οι δύο λύσεις είναι ολόιδιες. Την αφήνω έτσι και αλλιώς.

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση