Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 09

#1

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\Big({\frac{x}{1+x^n}}\Big)^n$ στο διάστημα [0,1]

.

#2

Δίνουμε μια λύση.

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\Big({\frac{x}{1+x^n}}\Big)^n\,, \; x\in\left[{0,\,1}\right]$ .

Για κάθε $x\in[0,1)$ υπάρχει $n_0(x)\in{\mathbb{N}}$ , τέτοιο ώστε για κάθε $n\in{\mathbb{N}}$ με $n\geqslant n_0(x)$ να ισχύει

$\displaystyle\Big|\Big({\frac{x}{1+x^n}}\Big)^n\Big|<\frac{1}{n^2}\quad(*)$ Επειδή $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ , έπεται ότι και η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\Big({\frac{x}{1+x^n}}\Big)^n$ συγκλίνει σημειακά στο [0,1)

.

Επίσης για x=1

: $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\Big({\frac{1}{1+1^n}}\Big)^n=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\Big({\frac{1}{2}}\Big)^n=1$ .

Άρα η σειρά συγκλίνει σημειακά στο [0,1]

.

Έστω ότι $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\Big({\frac{x}{1+x^n}}\Big)^n\stackrel{o\mu.}{=\!=}f(x)\,, \ x\in\left[{0,\,1}\right]$ . Τότε η

πρέπει να είναι συνεχής και για την ακολουθία μερικών αθροισμάτων $(\sigma_n)_{n\in{\mathbb{N}}}$ της σειράς θα έπρεπε
$\displaystyle \mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\sup\big\{\big|\sigma_n(x)-f(x)\big|\,\big|\,x\in[0,1]\big\}=0\,.$
Όμως

$\begin{aligned} 0&=\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\Big|\sigma_n\big({\rm{e}}^{-\frac{\log(n-1)}{n}}\big)-f\big({\rm{e}}^{-\frac{\log(n-1)}{n}}\big)\Big|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\geqslant\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\Big|\sigma_n\big({\rm{e}}^{-\frac{\log(n-1)}{n}}\big)\Big|-\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\Big|f\big({\rm{e}}^{-\frac{\log(n-1)}{n}}\big)\Big|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &{\color{red}\stackrel{?}{=}}\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}-|f(1)|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(**)}{=\!=}+\infty-f(1)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=+\infty\,. \end{aligned}$ Άτοπο. Άρα η $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\Big({\frac{x}{1+x^n}}\Big)^n$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1]

.

Απόδειξη;

Για κάθε $n\in{\mathbb{N}}\,,\; n\geqslant2\,,$ ισχύει

$\begin{aligned} \Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{n-1}<{\rm{e}}\quad&\Rightarrow\quad\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^{n-1}>\frac{1}{\rm{e}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\Rightarrow\quad\frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n}}>\frac{1}{{\rm{e}}\,n}\,. \end{aligned}$
Επειδή $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{\rm{e}}\,n}=+\infty$ , από το κριτήριο σύγκρισης, έπεται ότι $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n}}=+\infty$ .

edit: 18:40, 5/1/2018. Η σημειωμένη με κόκκινο ισότητα έχει πρόβλημα. Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο που το παρατήρησε. Θα κοιτάξω αν "σώζεται" το αποτέλεσμα.

#3

Φαίνεται πως η σειρά είναι "σκληρό καρύδι"! Παραθέτω 2 γραφικές παραστάσεις που δείχνουν την συμπεριφορά "κοντά" στο 1, (όπου είναι και η μοναδική περιοχή στην οποία ενδέχεται να μην έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση) πολύ "μεγάλων" όρων $S_{10000}(x)\,, \; S_{15000}(x)\,, \;S_{20000}(x)\,, S_{25000}(x)\,,\; S_{30000}(x)$ της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων $S_n(x)=\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\Big({\dfrac{x}{1+x^k}}\Big)^k$ , ελπίζοντας ότι θα βοηθήσουν άλλους:

: seira_9.b.png (23 KiB) Προβλήθηκε 1698 φορές

: seira_9.a.png (25.86 KiB) Προβλήθηκε 1698 φορές

#4

Όπως μόλις σήμερα έμαθα, το πρόβλημα είχε ήδη τεθεί στο American Mathematical Monthly (αριθμός προβλήματος 10840 στον τόμο 107, αριθμός 7, Δεκέμβριος 2000, σελίδα 950) και μια λύση μπορεί να βρεθεί στον τόμο 109, αριθμός 4 (Απρίλιος 2002), σελίδες 398-399 του American Mathematical Monthly.
Θα ήταν εξαιρετικά επιθυμητό -σε μένα τουλάχιστον- κάποιο μέλος που έχει πρόσβαση στο American Mathematical Monthly να μεταφέρει -και εδώ- την βασική ιδέα* της λύσης που δίνεται εκεί.

(*) Λόγω πνευματικών δικαιωμάτων.

#5

Επαναφέρω το θέμα διότι ο Liding Yao εδώ φαίνεται να έδωσε(?) μια πολύ καλύτερη λύση από την δημοσιευμένη στο Monthly. Αντιγράφω (μεταφράζοντας):

Αυτό είναι ένα πολύ εκλεπτυσμένο πρόβλημα διότι η μέγιστη τιμή $\max_{0<x<1}(\frac x{1+x^n})^n=\frac1{n-1}(1-\frac1n)^n\sim\frac1{en}$ επιτυγχάνεται στο $x=(n-1)^{-\frac1n}$ . Για αυτό, τόσο το κριτήριο απόκλισης όσο και το

-test αποτυγχάνουν.

Η απάντηση είναι ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα. Χρειάζεται να σκεφτούμε το $x\approx2^{-m2^{-m}}$ και να θεωρήσουμε το άθροισμα πάνω στο $2^{m-1}\le n\le 2^m$ .

Έστω $G\ge100$ και $x_G:=2^{-G2^{-G}}$ . Βρίσκουμε το διάστημα στο οποίο το

είναι τέτοιο ώστε
$(\frac{x_G}{1+x_G^n})^n\le n^{-2}$ , δηλαδή $n^\frac 2nx_G\le 1+x_G^n$ . Ισχυριζόμαστε ότι αυτό συμβαίνει όταν $|n-2^G|\ge 2^G\frac1{\sqrt G}$ .

Με δεδομένο τον παραπάνω ισχυρισμό, για αρκετά μεγάλο

έχουμε

$\begin{aligned} \sup_{0<x<1}\sum_{n\ge M}^\infty\Big(\frac x{1+x^n}\Big)^n\le&\sup_{G>\frac12\log_2M}\sum_{M\le n\le 2^G(1-\frac1{\sqrt G})}\frac1{n^2}+\sum_{|n-2^G|\le 2^G\frac1{\sqrt G}}\frac{100}n+\sum_{n\ge 2^G(1+\frac1{\sqrt G})}\frac1{n^2} \\ \le&\sup_{G>\frac12\log_2M}\frac{200}{\sqrt G}+\frac1M\xrightarrow{M\to\infty}0. \end{aligned}$

Δεν έχω χρόνο να ελέγξω τον παραπάνω ισχυρισμό, αλλά παραγωγίζοντας ως προς

και θέτοντας στην $n=2^G(1\pm\frac1{\sqrt G})$ μπορούμε να δούμε ότι ισχύει $n^\frac2nx_G\le 1+x_G^n$ .

Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 09

Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 09

Μέλη σε σύνδεση