Σύνολο Cantor

#1

Το σύνολο Cantor $\mathfrak{C}$ προκύπτει από την επ' άπειρον αφαίρεση του ανοικτού μεσαίου τρίτου διαστήματος από κάθε διάστημα που έχει προκύψει με τον ίδιο τρόπο από το προηγούμενο βήμα: Στο πρώτο βήμα αφαιρούμε από το διάστημα [0,1]

το διάστημα $\bigl({\frac13,\frac23}\bigr)$ . Έτσι προκύπτει το σύνολο $\bigl[{0,\frac13}\bigr]\cup\bigl[{\frac23,1}\bigr]$ από το οποίο, επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, προκύπτει το σύνολο $\bigl[{0,\frac19}\bigr]\cup\bigl[{\frac29,\frac13}\bigr]\cup[{\frac23,\frac79}\bigr]\cup\bigl[{\frac89,1}\bigr]$ , κ.ο.κ. (βλέπε Cantor set.ggb)

Ένας αναδρομικός τύπος που δίνει το προκύπτον σύνολο C_n

μετά το

-οστό βήμα είναι ο

$C_{n} =\displaystyle\frac{C_{n-1}}{3} \bigcup \Bigl(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\Bigr)\,,\quad C_0=[0,1]\,.$
Τελικά, το σύνολο $\mathfrak{C}$ είναι το σύνολο
${\mathfrak{C}}=[0,1] \setminus \displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty \;\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1} \Bigl(\tfrac{3k+1}{3^n},\tfrac{3k+2}{3^n}\Bigr)\,.$
Ποιο είναι το (Lebesque) μέτρο του $\mathfrak{C}$ θεωρουμένου σαν υποσύνολο του $\mathbb{R}$ ; Είναι το $\mathfrak{C}$ αριθμήσιμο;

Cantor set.ggb: (10.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 88 φορές

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Τὸ μέτρο τοῦ συνόλου Cantor εἶναι ΜΗΔΕΝ. Αὐτὸ φαίνεται ἀπὸ τὸ ἑξῆς: $C\subset C_n$ καὶ $\mu(C_n)=(2/3)^n$ . Ἄρα
$\displaystyle{ \mu(C)\le \frac{2^n}{3^n}, }$
διὰ κάθε $n\in\mathbb N$ , καὶ ἄρα $\mu(C)=0$ .

Εἶναι ἰσοπληθικὸ μὲ τὸ $\mathbb R$ , καθὼς περιέχει ὅλους τοὺς ἀριθμοὺς στὸ [0,1]

, οἱ ὁποῖοι στὸ 3αδικό τους ἀνάπτυγμα ἔχουν μόνο 0 καὶ 2.

Σύνολο Cantor

Σύνολο Cantor

Re: Σύνολο Cantor

Μέλη σε σύνδεση