Συνεχής,1-1 και επί

#1

Η συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,1]$ είναι συνεχής, 1-1 και επί. Να βρεθεί το σύνολο
$\mathcal{A}= \{|f(x)-f(y)|/ x,y \in [0,1]- \mathbb{Q} \}$
Φιλικά

dement · #2

Λοιπον, ως συνεχης και 1-1 η

ειναι γνησιως μονοτονη και ετσι, αφου ειναι επι, $f \left( \{ 0,1 \} \right) = \{ 0,1 \}$ . Υποθετουμε οτι ειναι αυξουσα (αλλιως θεωρουμε την 1 - f

) οποτε

.

Προφανως $A \subseteq [0,1]$ και $1 \notin A$ (οι μονοι x,y

με

ειναι ρητοι).

Εστω τυχαιος $r \in [0,1)$ . Τοτε, το συνολο $S \subseteq [0,1] \times [0,1]$ των ζευγων (x,y)

με

ειναι υπεραριθμησιμο (για καθε $x \in \left[ 0, f^{-1} (1-r) \right]$ υπαρχει το καταλληλο

). Αυτο το καταλληλο

ειναι μοναδικο (λογω μονοτονιας) οποτε τα $S \cap \left( \mathbb{Q} \times [0,1] \right)$ και $S \cap \left( [0,1] \times \mathbb{Q} \right)$ ειναι αριθμησιμα. Κατα συνεπεια, υπαρχει ζευγος αρρητων (x,y)

με

.

Αρα

.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Η δική μου λύση:
Η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, αφού είναι 1-1 και συνεχής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως είναι γνησίως αύξουσα, γιατί σε αντίθετη περίπτωση δουλεύουμε με την 1-f(x)

. Τότε

και

, άρα $1 \notin \mathcal{A}$ . Εξ' άλλου είναι προφανές ότι $0 \in \mathcal{A}$ άρα $\mathcal{A} \subset [0,1)$ . Έστω $a \in (0,1)$ . Τότε υπάρχει $b \in (0,1)$ με f(b)=a

. Ονομάζω $\mathcal{I}$ το σύνολο των αρρήτων του διαστήματος (b,1)

. Έστω $x \in \mathcal{I}$ , τότε υπάρχει μοναδικό $y_x \in (0,1)$ ώστε f(x)-f(y_x)=a

. Έστω ότι για κάθε $x\in \mathcal{I}, y_x \in \mathbb{Q}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $h:\mathcal{I} \to \mathbb{Q}$ με g(x)=y_x

. Τότε $g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow y_{x_1}=y_{x_2} \Rightarrow f(y_{x_1})=f(y_{x_2}) \Rightarrow f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ . Άρα η

είναι 1-1, συνεπώς το $g(\mathcal{I})$ είναι υπεραριθμήσιμο, άτοπο, γιατί $f(\mathcal{I}) \subset \mathbb{Q}$ . Άρα για κάποιο $x \in \mathcal{I}$ το $y_x \in [0,1]-\mathbb{Q}$ , άρα $a \in \mathcal{A}$ , οπότε προφανώς $\mathcal{A}=[0,1)$ .
Φιλικά

Συνεχής,1-1 και επί

Συνεχής,1-1 και επί

Re: Συνεχής,1-1 και επί

Re: Συνεχής,1-1 και επί

Μέλη σε σύνδεση