Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

ma128 · #1

Έστω ακολουθία: $x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$ .

Να αποδείξετε οτι η ακολουθία συγκλίνει.

Μπορώ να αποδείξω οτι η συγκεκριμένη ακολουθία είναι άυξουσα και άνω φραγμένη, επομένως έχω λύσει την άσκηση.
Αλλά έχω τις εξής απορίες πάνω σε αυτήν την ακολουθία

1) Ισχύει ότι: $limx_n=lim(1+\frac{1}{n})^n=1$ ;

2) Προκύπτει ότι: $1+\frac{1}{1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+...\frac{1}{n^{n-1}}<x_n<1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...\frac{1}{2^{n-1}}$ .

3)Ισχύει οτι: $1+\frac{1}{1}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+...+\frac{1}{a^n}=1+ \frac{1-(\frac{1}{a})^{n+1}}{1-(\frac{1}{a})}$ ;

Αν ναί, τότε το 2) γίνεται: $1+\frac{1-(\frac{1}{n})^{n}}{1-(\frac{1}{n})}<x_n<1+\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-(\frac{1}{2})}$

Και αν πάρουμε όρια προκύπτει: $2\leq limx_n\leq 3$ που έρχεται σε αντίθεση με το 1).

Τι ακριβώς ισχύει τελικά;

#2

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 2:22 am
Έστω ακολουθία: $x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$ .

Να αποδείξετε οτι η ακολουθία συγκλίνει.

Μπορώ να αποδείξω οτι η συγκεκριμένη ακολουθία είναι άυξουσα και άνω φραγμένη, επομένως έχω λύσει την άσκηση.
Αλλά έχω τις εξής απορίες πάνω σε αυτήν την ακολουθία

1) Ισχύει ότι: $limx_n=lim(1+\frac{1}{n})^n=1$ ;

...
Τι ακριβώς ισχύει τελικά;

To 1) είναι λάθος. Το όριο είναι το

.

#3

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 2:22 am
Μπορώ να αποδείξω οτι η συγκεκριμένη ακολουθία είναι άυξουσα και άνω φραγμένη, επομένως έχω λύσει την άσκηση.

Κάνεις τα εύκολα, δύσκολα.

Υπόδειξη για το παραπάνω: Κριτήριο λόγου.

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 2:22 am

1) Ισχύει ότι: $limx_n=lim(1+\frac{1}{n})^n=1$ ;

Αυτό είναι βαρύτατο σφάλμα. Ο Αχιλλέας παραπάνω σου έγραψε την σωστή τιμή αλλά
πάω ένα βήμα παράλληλο για να σκεφτείς μόνος σου πού είναι το σφάλμα στον συλλογισμό σου.
Ξέρω πιο είναι, αλλά να δούμε εσύ τι λες.

Θα σε παρακαλέσω να γράψεις εδώ το (εκ των πραγμάτων εσφαλμένο) επιχείρημά σου ή, ΑΚΟΜΑ ΚΑΛΥΤΕΡΑ
να εντοπίσεις μόνος σου το σφάλμα και να μας πεις ποιο είναι.

ma128 · #4

Δεν είναι : $lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{+\propto })^{+\propto }=(1+0)^{+\propto }=1^{+\propto }=1$ ;
Και γιατί;

KARKAR · #5

Τι γνωρίζετε για τον αριθμό

;

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 1:28 pm
Δεν είναι : $lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{+\propto })^{+\propto }=(1+0)^{+\propto }=1^{+\propto }=1$ ;
Και γιατί;

Δεν είναι...
Τα όσα ισχύουν σε πεπερασμένο πλήθος παραγόντων δεν ισχύουν απαραίτητα σε άπειρο πλήθος παραγόντων.
Αυτό το μαθαίνουμε στην Τρίτη Λυκείου.
Δηλαδή $1^{+\propto }$ δεν κάνει οπωσδήποτε

ma128 · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 1:49 pm
Τι γνωρίζετε για τον αριθμό ;

Όχι αρκετά, απο ότι φαίνεται.

ma128 · #8

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 1:49 pm

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 1:28 pm
Δεν είναι : $lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{+\propto })^{+\propto }=(1+0)^{+\propto }=1^{+\propto }=1$ ;
Και γιατί;
Δεν είναι...
Τα όσα ισχύουν σε πεπερασμένο πλήθος παραγόντων δεν ισχύουν απαραίτητα σε άπειρο πλήθος παραγόντων.
Αυτό το μαθαίνουμε στην Τρίτη Λυκείου.
Δηλαδή $1^{+\propto }$ δεν κάνει οπωσδήποτε

Περίεργο...

Μα, αν $lim_{x\rightarrow +\propto }1^x\neq 1$ αυτό δεν σημαίνει και ότι: $lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{ln1}{x}\neq 0$ ;

Αντίστοιχα, αν $lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n\neq 1$ τότε και : $lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{ln(n+1)}{n}\neq lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{lnn}{n}\neq 0$ ;

Τσιαλας Νικολαος · #9

Τα 2 τελευταία που γράφεις δεν έχουν σχέση μεταξύ τους... Εγώ αυτό που λέω σαν παράδειγμα στους μαθητές μου είναι το εξής: "πάρτε στο κομπουτεράκι το 1,00001

και αρχίστε να το πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του πολλές φορές. Τι διαπιστώνετε;

#10

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 1:28 pm
Δεν είναι : $lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{+\propto })^{+\propto }=(1+0)^{+\propto }=1^{+\propto }=1$ ;
Και γιατί;

Δυστυχώς αυτά είναι ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΠΤΩΧΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

Θα παρακαλούσα θερμά και σε παροτρύνω να μελετήσεις τα βιβλία σου γιατί από ότι φαίνεται τα κενά είναι ουσιαστικά. Τα παραπάνω δεν βασίζονται σε κανένα θεώρημα. Δυστυχώς δεν μπορώ να σου ξεκαθαρίσω τις έννοιες με το πληκτρολόγιο, οι οποίες στο κάτω κάτω αναλύονται με σαφήνεια στα βιβλία σου. Δεν υπάρχει, λοιπόν, λόγος να επαναλαμβάνω αυτά που ήδη έχεις μπροστά σου στα ωραιότατα βιβλία που σου δώρισε το Κράτος. Είναι γραμμένα από έγκριτους Μαθηματικούς και εξαιρετικούς Δασκάλους.

Το ότι δεν έχεις μελετήσει τα βιβλία σου στον βαθμό που πρέπει, είναι σαφές. Όχι γιατί παραπάνω γράφεις ανύπαρκτα θεωρήματα (όλοι κάνουμε λάθη)
αλλά γιατί το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty }\left (1+\frac{1}{n} \right )^n}$ υπάρχει σε ΟΛΑ, μα ΟΛΑ, μα ΟΛΑ ΟΛΑ τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού. Είναι το ΚΕΝΤΡΙΚΟΤΕΡΟ ΟΡΙΟ στον Απειροστικό Λογισμό και όλη η θεωρία κτίζεται σε αυτό. Εάν δεν το είδες, που κατά τεκμήριο δεν το είδες, θα ήταν χρήσιμο να διάβαζες τα βιβλία σου. Έτσι θα έχουμε και εμείς βάση να σου δείξουμε εδώ λεπτότερα θέματα. Αλλιώς καρκινοβατούμε όλοι.

ma128 · #11

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 2:27 pm
Τα 2 τελευταία που γράφεις δεν έχουν σχέση μεταξύ τους...

[/quote]

Περίεργο...

Μα, αν $lim_{x\rightarrow +\propto }1^x\neq 1$ αυτό δεν σημαίνει και ότι: $lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{ln1}{x}\neq 0$ ;

Αντίστοιχα, αν $lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n\neq 1$ τότε και : $lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{ln(n+1)}{n}\neq lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{lnn}{n}\neq 0$ ;
[/quote]

Πράγματι σε αυτά, τώρα κατάλαβα που έχω κάνει λάθος.

#12

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 7:12 pm
Πράγματι σε αυτά, τώρα κατάλαβα που έχω κάνει λάθος.

.
Για να σε βοηθήσουμε, καλό είναι να μας πεις πού είναι τα λάθη. Αλλιώς μπορεί να μένεις με την ψευδαίσθηση ότι τώρα τα κατάλαβες,
αλλά η πραγματικότητα να είναι διαφορετική. Το λέω αυτό γιατί στο επίμαχο ποστ σου
.

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 1:28 pm
$lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{+\propto })^{+\propto }=(1+0)^{+\propto }=1^{+\propto }=1$ ;

.
είναι αρκετά τα λάθη (μετρώ κάπου 4 λάθη και παρανοήσεις) που καλό είναι να τα ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου.

Επίσης, θα ήθελα να ρωτήσω ποιο είναι το βιβλίο του Απειροστικού Λογισμού που ακολουθεί ο Καθηγητής σου; Τι βρήκες εκεί για το όριο

$\lim_{n\rightarrow +\infty }\left (1+\frac{1}{n}\right )^n$

KARKAR · #13

Ακόμα πιο απλά , δες το βιβλίο της Β' Λυκείου , στην τελευταία σειρά της σελίδας 168

.

#14

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 7:31 pm
Ακόμα πιο απλά , δες το βιβλίο της Β' Λυκείου , στην τελευταία σειρά της σελίδας .

Θανάση, σωστά. Τα λέει όλα!

Σημειώνω όμως εμφατικά ότι ο ma128 δεν πρέπει να αρκεστεί στην τιμή του εν λόγω ορίου αλλά να κατανοήσει πού είναι τα λάθη σε αυτά που γράφει. Δεδομένου ότι είναι φοιτητής του Μαθηματικού, η ανάγκη είναι ... δεκαπλή.

#15

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 2:22 am
Έστω ακολουθία: $x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$ .

Να αποδείξετε οτι η ακολουθία συγκλίνει.

Μπορώ να αποδείξω οτι η συγκεκριμένη ακολουθία είναι άυξουσα και άνω φραγμένη, επομένως έχω λύσει την άσκηση.
Αλλά έχω τις εξής απορίες πάνω σε αυτήν την ακολουθία

1) Ισχύει ότι: $limx_n=lim(1+\frac{1}{n})^n=1$ ;

2) Προκύπτει ότι: $1+\frac{1}{1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+...\frac{1}{n^{n-1}}<x_n<1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...\frac{1}{2^{n-1}}$ .

3)Ισχύει οτι: $1+\frac{1}{1}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+...+\frac{1}{a^n}=1+ \frac{1-(\frac{1}{a})^{n+1}}{1-(\frac{1}{a})}$ ;

Αν ναί, τότε το 2) γίνεται: $1+\frac{1-(\frac{1}{n})^{n}}{1-(\frac{1}{n})}<x_n<1+\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-(\frac{1}{2})}$

Και αν πάρουμε όρια προκύπτει: $2\leq limx_n\leq 3$ που έρχεται σε αντίθεση με το 1).

Τι ακριβώς ισχύει τελικά;

Πραγματικό περιστατικό.

Κάποτε ένας λυράρης (ο Νικολής) συναντήθηκε σε μια ταβέρνα με το μεγάλο δάσκαλο Θ. Σκορδαλό , ο οποίος ενώ γνώριζε το Νικολή δεν τον είχε ακούσει να παίζει λύρα.

Κάποια στιγμή στο τραπέζι που καθόντουσαν γυρίζει ο Θανάσης και λέει:

Παίξε μωρέ Νικολή και συ μια «κοντυλιά» να σ ακούσω.

Μόλις πάει να παίξει την πρώτη «κοντυλιά» ο Νικολής σκύβει ο Σκορδαλός στ αυτί του και του λέει :

Κακομήτση μου θες δουλειά !, πολύ δουλειά!

ma128 · #16

Βλέπω, οτι: $lim_{n\rightarrow +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=lim_{n\rightarrow +\propto }e^{nln(1+\frac{1}{n})}=$

$e^{lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}}=e$

Καθώς : $lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$ είναι απροσδιόριστη μορφή

Με Del Hospital έχω: $lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$

Να με συγχωρέσετε εάν οι ερωτήσεις μου είναι ανόητες και ας απολογηθώ εάν πρέπει να απολογηθώ για αυτά που δεν ξέρω.Αυτό που με ενδιαφέρει είναι να μάθω αυτά που δεν ξέρω, και για αυτό ρωτώ. Νομίζω πως αυτο δεν είναι αθέμιτο.

Θα χαιρόμουν πολύ κ.Μιχάλη αν είχατε την καλοσύνη να μου υποδείξετε αυτά τα (4;) λάθη στο επίμαχο σημείο, όπως αναφέρεται, καθώς σε αυτό το σημείο βρίσκεται πράγματι η "αγκύλωση". Φαντάζομαι κάποιας μορφής απροσδιοριστία που δεν βλέπω.

#17

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 10:54 pm
... Αυτό που με ενδιαφέρει είναι να μάθω αυτά που δεν ξέρω, και για αυτό ρωτώ. Νομίζω πως αυτο δεν είναι αθέμιτο.

Τιμή μας και χαρά μας να σου δείξουμε έναν νέο κόσμο γεμάτο ενδιαφέρον. Όμως πριν ρωτήσεις κάτι εδώ είναι ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΟ να το έχεις σκεφτεί επαρκώς και να έχεις διαβάσει τα βιβλία σου. Από ότι τεκμαίρεται, δεν έχεις κάνει ούτε το ένα ούτε το άλλο.
.

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 10:54 pm
Με Del Hospital έχω: $lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$

.
Σε αυτό το βήμα υπάρχει ένας κακός συλλογισμός, αλλά ευτυχώς διορθώνεται εύκολα (θα το βρεις μόνος σου). Το σφάλμα είναι ότι παραγωγίζεις ως προς

. Να όπως που για να ορίσεις παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα x_0

πρέπει αυτή να ορίζεται τουλάχιστον σε ένα διάστημα δεξιά ή αριστερά του x_o

. Όμως εδώ το

παίρνει διακριτές τιμές και άρα ΔΕΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙΤΑΙ η απαίτηση παραγωγισιμότητας.

Αν το έβλεπα σε διαγώνισμα αυτό, χωρίς περαιτέρω εξήγηση, υα σταματούσα να διορθώνω το υπόλοιπο γραπτό! Απλά θα σκεπτόμουν την ιστορία με τον Θανάση Σκορδαλό που έγραψε ο Νίκος (Doloros) παραπάνω.
.

ma128 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 10:54 pm
να μου υποδείξετε αυτά τα (4;) λάθη στο επίμαχο σημείο, όπως αναφέρεται, καθώς σε αυτό το σημείο βρίσκεται πράγματι η "αγκύλωση".

.
Για ψάξε τα βιβλία σου και πες μου αν είδες πουθενά ορισμό του $1^{\infty}$ . Πόσο μάλλον αν χρησιμοποιεί κανείς θεώρημα που λέει ότι αν $a_n\to 1, b_n \to \infty$ τότε $a_n^{b_n} \to 1^ {\infty}$ . Είτε θα μου δείξεις ένα βιβλίο που το περιέχει, είτε θα το αποδείξεις.

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ma128 · #18

Εάν ήξερα να σας πως τότε δεν θα ρωτούσα.
Διαπιστώσεις παραθέτω, οχι αποφάνσεις.

#19

ma128 έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 08, 2022 12:15 am
Εάν ήξερα να σας πως τότε δεν θα ρωτούσα.
Διαπιστώσεις παραθέτω όχι αποφάνσεις.

Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Θα επαναλαβω αυτό που έγραψα στο προηγούμενο ποστ μου

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 08, 2022 12:07 am
Τιμή μας και χαρά μας να σου δείξουμε έναν νέο κόσμο γεμάτο ενδιαφέρον. Όμως πριν ρωτήσεις κάτι εδώ είναι ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΟ να το έχεις σκεφτεί επαρκώς και να έχεις διαβάσει τα βιβλία σου. Από ότι τεκμαίρεται, δεν έχεις κάνει ούτε το ένα ούτε το άλλο.

Ισως δεν έχεις κατανοήσει το βάθος αυτής της συμβουλής και νομίζεις ότι προσπαθούμε να σε δυσκολέψουμε.

Συμβαίνει το αντίθετο. Προσπαθούμε να σε συμβουλεύσουμε για τον σωστό δρόμο. Αλλά, άθελά σου, δεν ακούς. Φαίνεται π.χ. γιατί ενώ σε ρωτάω ποιο είναι το βιβλίο του Απειροστικού που ακολουθείς, δεν το πρόσεξες, Επίσης φαίνεται από το ότι πρόσφατα σου υπέδειξα που θα βρίσκεις τα σύμβολα latex που δεν ξέρεις (- - - - > Eq Edιtor) και όμως ακόμα γράφεις εσφαλμένα το "άπειρο" και το "συνεπάγεται και αντιστρόφως".

Άκου τις συμβουλές μας στο μέτρο που αρμόζει, ΚΑΙ ΕΧΕΙΣ ΝΑ ΚΕΡΔΙΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑ. Με ανοικτό μυαλό.

ma128 · #20

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 08, 2022 12:38 am
Φαίνεται π.χ. γιατί ενώ σε ρωτάω ποιο είναι το βιβλίο του μαθήματος, δεν το πρόδσεξες,

Με συγχωρείται για αυτό, παράληψη.

Μαθηματικά Ι (Θεμιστοκλής Ρασσιας)

Εις οτι αφορά το θέμα μας, η συζητηση νομίζω εξάντλησε τα περιθώρια, προσωρινως. Θα χαρώ πολύ, να έχω τη δυνατότητα να σας απευθυνθώ, πιο ετοιμος, με σκοπό τη συνέχιση της.

Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία 2

Μέλη σε σύνδεση