Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1

#1

Επαναφέρω αυτό το θέμα, γιατί νομίζω πως ξεχάστηκε.
α) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , η οποία δεν είναι 1-1, αλλά ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1.
β) Έχουμε το ίδιο συμπέρασμα αν αντικαταστήσουμε τους άρρητους με ρητούς;
(Για το δεύτερο ερώτημα δεν έχω λύση)
Φιλικά

dement · #2

Για το πρωτο :

Εστω x_1 < x_2

με

. Η

δεν ειναι σταθερη στο [x_1,x_2]

(αλλιως δε θα ηταν 1-1 στους αρρητους) οποτε παρουσιαζει ακροτατο σε καποιο $y \in (x_1, x_2)$ .

Τοτε, απο Bolzano, σε καθε $p \in (x_1, y)$ μπορουμε να αντιστοιχισουμε $q \in (y, x_2)$ με f(p) = f(q)

. Τα ζευγη (p,q)

ειναι υπεραριθμησιμα το πληθος οποτε υπαρχει σιγουρα ζευγος με $p, q \notin \mathbb{Q}$ , πραγμα που αντιβαινει στο 1-1 στους αρρητους.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Γειά σας
Νομίζω ότι η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα της άσκησης του Σπύρου είναι καταφατική. Με
$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 \cdot x} & {x \leqslant 1} \\ { - x + \sqrt 2 + 1} & {x > 1} \\ \end{array} } \right.}$
η

είναι συνεχής και δεν είναι είναι 1-1. Αλλά αν $f\left( {{q_1}} \right) = f\left( {{q_2}} \right)$ με τα q_1

,

να είναι ρητοί τότε θα είναι και $q_{1}=q_{2}$ . Η ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι με $q_{1}\leq 1<q_{2}$ που δίνει $\sqrt{2}q_{1}=-q_{2}+\sqrt{2}+1$
η οποία είναι αδύνατη με τους q_1

,

να είναι ρητούς.
Μαυρογιάννης

#4

Το παραδείγμα σου Νίκο είναι ωραία έμπνευση (έψαχνα καιρό και δεν μπορούσα να βρω)
Δημήτρη δεν καταλαβαίνω το άτοπο, γιατί ναι μεν τα ζεύγη $(p,q) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ είναι αριθμήσιμα, αλλά δεν θα μπορούσαμε να είχαμε και ζεύγη $(p,q) \in \mathbb{Q} \times (\mathbb{R}-\mathbb{Q})$ , τα οποία είναι υπεραριθμήσιμα και δεν αντίκεινται στην υπόθεση του 1-1 στους άρρητους;
Φιλικά

#5

Το πρόβλημα αυτό είναι το 5978 (όπως μου επεσήμανε και ο Αχιλλέας σε προσωπικό μήνυμα) του Monthly. Δεν θυμάμαι άλλες λεπτομέρειες για αυτόν που το πρότεινε και τους λύτες του. Θα γράψω τη λύση, με κάποιες δικές μου παρεμβάσεις, ώστε να γίνει πιο επαγωγική
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Αφού η συνάρτηση δεν είναι 1-1, θα υπάρχουν ρητοί, έστω x_1, x_2,x_1<x_2

με

. Δουλεύουμε πλέον στο διάστημα D=(x_1,x_2)

. Το σύνολο $S=\{x \in D, f(x)=q \}$ δεν μπορεί να είναι πυκνό στο

, γιατί αν ήταν, τότε η συνάρτηση θα ήταν σταθερή στο

, άρα όχι 1-1 στους άρρητους, άτοπο. Συνεπώς υπάρχει ανοικτό διάστημα (a,b)

με $(a,b) \subset (x_1,x_2)$ ώστε $f(x) \neq q, \forall x \in (a,b)$ . Ονομάζουμε

το σύνολο των διαστημάτων (r,s)

για τα οποία ισχύει $f(x) \neq q, \forall x \in (r,s)$ και τα οποία έχουν μη κενή τομή με το (a,b)

και παίρνουμε το ανοικτό διάστημα $(c,d)= \displaystyle \bigcup _{m \in U}m$ . Για το διάστημα (c,d)

θα ισχύει προφανώς, εκ του τρόπου κατασκευής του, f(c)=f(d)=q

. Άρα η συνεχής συνάρτηση

θα παρουσιάζει στο σημείο $x_0 \in (c,d)$ ή μέγιστο ή ελάχιστο και το ελάχιστο ή το μέγιστο της στο [c,d]

, αντιστοίχως, θα το παρουσιάζει στα άκρα. Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι αληθεύει το πρώτο ενδεχόμενο. Τότε f([c,x_0])=f([x_0,d])=[f(c),f(x_0)]

, άρα (επειδή η

είναι 1-1 στους άρρητους) $f([c,x_0] \cap (\mathbb{R}-\mathbb{Q})) \subset f([x_0,d] \cap \mathbb{Q})$ , δηλαδή $card(\mathbb{R})\leq card(\mathbb{Q})$ , άτοπο.
Φιλικά

dement · #6

(Διωχνω τα Greeklish)

Σπυρο, για καθε ρητο

υπαρχει το πολυ ενας αρρητος

τετοιος ωστε οι p,x

να αποτελουν ζευγος, λογω του 1-1 στους αρρητους. Οποτε τα ζευγη που ειναι υποσυνολα του $\mathbb{Q} \times \left( \mathbb{R} - \mathbb{Q} \right)$ η του $\left( \mathbb{R} - \mathbb{Q} \right) \times \mathbb{Q}$ ειναι αριθμησιμα.

Δημητρης Σκουτερης

Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1

Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1

Re: Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους

Re: Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους

Re: Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους

Re: Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους

Re: Συνεχής συνάρτηση, που ο περιορισμός της στους άρρητους

Μέλη σε σύνδεση