Μονοτονία ακολουθίας

#1

Αν $a \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}$ και $c_n \to c \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}$ , να αποδείξετε ότι η ακολουθία $x_n=\{na+c_n\}$ δεν είναι μονότονη (Τα άγκιστρα σημαίνουν κλασματικό μέρος)

#2

Σπύρο, δίνω μιαν απάντηση στην οποία δεν χρησιμοποιώ ότι $c \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ . Ελπίζω να μην έχω λάθος.

Έστω $d = \min\{\{a\},1-\{a\}\}$ . Αφού $a \notin \mathbb{Z}$ τότε d > 0

και άρα θα υπάρχει n_0

ώστε $|c_{n+1} - c_n| < d/2$ για κάθε $n \geqslant n_0$

Έστω λοιπόν πως η ακολουθία είναι μονότονη. Επειδή είναι και φραγμένη θα τείνει σε ένα όριο. Άρα η ακολουθία $y_n = x_{n+1} - x_n$ πρέπει να τείνει στο 0. Έχουμε $y_n = \{a + c_{n+1} - c_n\}$ ή $y_n = 1 - \{a + c_{n+1} - c_n\}$ . Όμως για κάθε $n \geqslant n_0$ έχουμε $d/2 < \{a + c_{n+1} - c_n\} < 1 - d/2$ και άρα $y_n \geqslant d/2$ , άτοπο.

#3

Δημήτρη

Δεν χρειάζεται το $c \notin \mathbb{Z}$ αλλά με τον ελάχιστα διαφορετικό-όχι στη λογική-τρόπο που την έλυσα εγώ, κάπου προέκυπτε το c_n-[c_n]

και για διευκόλυνση (να βγαίνει τελικά 0), έδωσα αυτόν τον περιορισμό, ο οποίος δεν θα έβλαπτε το πρόβλημα και αν δεν υπήρχε
Φιλικά

Μονοτονία ακολουθίας

Μονοτονία ακολουθίας

Re: Μονοτονία ακολουθίας

Re: Μονοτονία ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση