int { x / sin^4(x) dx }

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

int { x / sin^4(x) dx }

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Απρ 19, 2009 7:41 am

\displaystyle\int{\frac{x}{\sin^4{x}}\,dx}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: int { x / sin^4(x) dx }

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Απρ 19, 2009 9:11 am

Kαλημέρα και Χριστός Ανέστη!
Στο μεσοδιάστημα της παρασκευής του κοκορετσίου, να μια λύση για το ολοκλήρωμα του Γρηγόρη....
ΛΗΜΜΑ 1
\displaystyle{\displaystyle  
\frac{1} 
{{\sin ^2 x}} = \cot ^2 x + 1 
}.

ΛΗΜΜΑ 2

\displaystyle{\displaystyle  
\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}} 
{{\sin x}}dx = \int {\frac{1} 
{{\sin x}}} } } d\sin x = \ln |\sin x| + c 
}.

ΛΗΜΜΑ 3

\displaystyle{\displaystyle  
\int {\frac{{\cot ^3 x}} 
{3}} dx = \frac{1} 
{3}\int {\frac{{\cos ^2 x}} 
{{\sin ^3 x}}} \cos xdx = \frac{1} 
{3}\int {\frac{{1 - \sin ^2 x}} 
{{\sin ^3 x}}} d\sin x = \frac{1} 
{3}\int {\left( {\frac{1} 
{{\sin ^3 x}} - \frac{1} 
{{\sin x}}} \right)} d\sin x = \frac{1} 
{3}\left[ {\frac{{\sin ^{ - 2} x}} 
{{ - 2}} - \ln |\sin x|} \right] + c =  - \frac{1} 
{{6\sin ^2 x}} - \frac{{\ln |\sin x|}} 
{3} + c 
}.

ΛΥΣΗ

Εχουμε :

\displaystyle{\displaystyle  
\int {x\frac{1} 
{{\sin ^4 x}}} dx = \int {x\frac{1} 
{{\sin ^2 x}}} \frac{1} 
{{\sin ^2 x}}dx\mathop  = \limits^{(1)} \int {x\left( {\cot ^2 x + 1} \right)} \left( {\cot x} \right)^{\prime} dx =  - \int {x\left( {\frac{{\cot ^3 x}} 
{3} + \cot x} \right)} ^{\prime}dx =  - x\left( {\frac{{\cot ^3 x}} 
{3} + \cot x} \right) + \int {(\frac{{\cot ^3 x}} 
{3} + \cot x)} dx\mathop  = \limits_{(3)}^{(2)}  - x\left( {\frac{{\cot ^3 x}} 
{3} + \cot x} \right) - \frac{1} 
{{6\sin ^2 x}} - \frac{{\ln |\sin x|}} 
{3} + \ln |\sin x| + c = \frac{{ - x\cot ^3 x}} 
{3} - x\cot x - \frac{1} 
{{6\sin ^2 x}} + \frac{{2\ln |\sin x|}} 
{3} + c 
}.

Καλημέρα και καλά να περάσετε!


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες