int{ [ x^(1/2) arctan(x^(1/2)) ] / (1+x) dx}

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

int{ [ x^(1/2) arctan(x^(1/2)) ] / (1+x) dx}

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Απρ 19, 2009 10:01 am

\displaystyle\int{\frac{\sqrt{x}\,\arctan{\sqrt{x}}}{x+1}\,dx}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 253
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: int{ [ x^(1/2) arctan(x^(1/2)) ] / (1+x) dx}

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Κυρ Απρ 19, 2009 11:04 am

Με την αντικατάσταση \displaystyle y=\arctan \sqrt x ,θα έχουμε

\displaystyle \tan y=\sqrt x\Rightarrow x=\tan^{2} y,διαφορίζωντας παίρνουμε

\displaystyle dx=2\tan y(\tan^{2} y+1)dy

οπότε

\displaystyle \int \frac{\sqrt x \cdot \arctan \sqrt x}{x+1}\,dx= 
\int \frac{\tan y\cdot y \cdot 2\tan y(1+\tan^{2} y)}{\tan^{2} y+1}\,dy= 
2\int y\cdot\tan^{2}y\,dy= 
2\int y\cdot d\tan y-\int 2y\,dy= 
2y\tan y+2\ln|\cos y|-y^{2}+C= 
2\arctan \sqrt x \cdot \sqrt  
x+2\ln|\cos \arctan \sqrt x|-\arctan^{2} \sqrt x+C= 
2\arctan \sqrt x \cdot \sqrt x+-\ln|x+1|-\arctan^{2} \sqrt x+C


Γιάννης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: int{ [ x^(1/2) arctan(x^(1/2)) ] / (1+x) dx}

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Απρ 19, 2009 12:17 pm

Μετά τήν "ορθόδοξη" επίλυση τού Γιαννη καί μία όχι τόσο:

\displaystyle\int{\frac{\sqrt{x}\,\arctan{\sqrt{x}}}{x+1}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} 
   {t=\sqrt{x}}  \\ 
   {2t\,dt=dx}  \\ 
\end{subarray}}\int{\frac{2t^2\,\arctan{t}}{t^2+1}\,dt}=\int{\frac{2t^2+2-2}{t^2+1}\,\arctan{t}\,dt}=
\displaystyle\int{\frac{2t^2+2-2}{t^2+1}\,\arctan{t}\,dt}=\int{\left({2-\frac{2}{t^2+1}}\right) \arctan{t}\,dt}=
\displaystyle\int{\left({2t-2\,\arctan{t}}\right)^{\prime}\arctan{t}\,dt}=
\displaystyle\left({2t-2\,\arctan{t}}\right)\arctan{t}-\int{\left({2t-2\,\arctan{t}}\right)({\arctan{t}})^{\prime}\,dt}=
\displaystyle2t\,\arctan{t}-2\,\arctan^2{t}-\int{\left({2t-2\,\arctan{t}}\right)\frac{1}{t^2+1}\,dt}=
\displaystyle2t\,\arctan{t}-2\,\arctan^2{t}-\int{\frac{2t}{t^2+1}\,dt}+\int{\frac{\arctan{t}}{t^2+1}\,dt}=
\displaystyle2t\,\arctan{t}-2\,\arctan^2{t}-\int{\frac{\left({t^2+1}\right)^{\prime}}{t^2+1}\,dt}+\int{\left({\arctan^2{t}}\right)^{\prime} dt}=
\displaystyle2t\,\arctan{t}-2\,\arctan^2{t}-\log\left({t^2+1}\right)+\arctan^2{t}+c=
\displaystyle2t\,\arctan{t}-\arctan^2{t}-\log\left({t^2+1}\right)+c\,\mathop{=}\limits^{t\,=\,\sqrt{x}}
\displaystyle2\,\sqrt{x}\,\arctan{\sqrt{x}}-\arctan^2\!{\sqrt{x}}-\log\left({x+1}\right)+c.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες