~ολοκλήρωμα~

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 253
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

~ολοκλήρωμα~

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Δευ Απρ 20, 2009 8:20 pm

Υπολογίστε το \displaystyle J=\int \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\,dx


Γιάννης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2886
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ~ολοκλήρωμα~

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Απρ 20, 2009 10:09 pm

Θέτωντας x=\tan{\theta}, προκύπτουν dx=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\,d\theta καί \sqrt{x^2+1}=\dfrac{1}{\cos{\theta}}.

\displaystyle{J}=\int{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\,dx}=\int{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx}=\int{\frac{\frac{1}{\cos{\theta}}}{\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\,\frac{1}{\cos^2{\theta}}\,d\theta}=\int{\frac{1}{\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}}\,d\theta}=

\displaystyle\int{\frac{\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}+\frac{1}{\sin{\theta}}\,d\theta}=\int{\frac{\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}\,d\theta}+\int{\frac{1}{\sin{\theta}}\,d\theta}\,\mathop{=}\limits^{(*)}

\displaystyle\frac{1}{\cos{\theta}}+\log\left|{\tfrac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}\right|+c\,\mathop{=}\limits^{x=\tan{\theta}}\,\sqrt{x^2+1}+\log\left|{\tfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}}\right|+c.

(*)\,\displaystyle\int{\frac{1}{\sin{\theta}}\,d{\theta}}=\int{\frac{1}{\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}\,\frac{1-\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}}\,d{\theta}}=\int{\frac{1}{\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}\,\left({\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}\right)^{\prime}\,d{\theta}}=
\displaystyle\log{\textstyle\left|{\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}\right|}+c.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ~ολοκλήρωμα~

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Απρ 20, 2009 10:10 pm

\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \int {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} dx} \mathop  = \limits_{dx =  - \frac{1}{{\eta {\mu ^2}u}}du}^{x = \sigma \varphi u} \int { - \frac{{\sqrt {1 + \varepsilon {\varphi ^2}u} }}{{\eta {\mu ^2}u}}du}  =  - \int {\frac{1}{{\eta {\mu ^2}u \cdot \sigma \upsilon \nu u}}} du =  \\  
  = \sigma \varphi u \cdot \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu u}} - \int {\sigma \varphi u\frac{{\eta \mu u}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}u}}} du = \frac{1}{{\eta \mu u}} - \int {\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu u}}du = }  \\  
 \mathop  = \limits_{du =  - dt}^{u = \frac{\pi }{2} - t} \frac{1}{{\eta \mu \left( {\tau o\xi \sigma \varphi x} \right)}} + \int {\frac{1}{{\eta \mu t}}dt = } ... \\  
 \end{array}}
To τελευταίο το είδαμε εδώ viewtopic.php?f=54&t=933


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: ~ολοκλήρωμα~

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Απρ 20, 2009 11:53 pm

Θέτοντας t=(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}} έχουμε
J=\displaystyle\int\frac{t^{2}}{t^{2}-1}\,dt=\int 1+\frac{1}{t^{2}-1}\,dt=t+\ln\Big|\frac{t-1}{t+1}\Big|^{\frac{1}{2}}=\\=(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}+\ln\Big|\frac{(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}-1}{(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}+1}\Big|^{\frac{1}{2}}+c


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης