Όριο αθροίσματος (9)

#1

Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{m\to+\infty}\sum _{n=1}^{m}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{(n-k)^k}{k!}}$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{m\to+\infty}\sum _{n=1}^{m}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{(n-k)^k}{k!}}$ .

Αθροίζοντας διαγώνια (θα δούμε πώς) το άθροισμα ισούται 1/(e-1) :

Ίσως είναι απλούστερο στο γράψιμο να δούμε τα αθροίσματα ανοιγμένα. Γίνονται, για διαδοχικά m = 1, 2, 3, ...

1 +

$1 - \frac{1}{1!} +$

$1 - \frac{2}{1!} + \frac{1^2}{2!} +$

$1 - \frac{3}{1!} + \frac{2^2}{2!} - \frac{1^3}{3!} +$

$1 - \frac{4}{1!} + \frac{3^2}{2!} - \frac{2^3}{3!} + \frac{1^4}{4!} +$

......

Αθροίζοντας διαγώνια από πάνω δεξιά προς τα κάτω η μεν σύγκλιση είναι άμεση τα δε αθροίσματα είναι η γεωμετρική πρόοδος

$e^{-1} + e^{-2} + e^{-3} +.... = \frac{e^{-1}}{1- e^{-1}} = \frac{1}{e-1}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Χμ, κάτι δεν βλέπω σε αυτήν την λύση. Η σύγκλιση δεν είναι απόλυτη. Πως λοιπόν δικαιολογούμε την εναλλαγή των αθροισμάτων;

#4

Έχεις δίκιο. Θα το ξαναδώ.

Μ.

#5

Η άθροιση μέχρι m=200

επαληθεύει το 1/(e-1)

. Το επαναφέρω

#6

Επαναφορά

Όριο αθροίσματος (9)

Όριο αθροίσματος (9)

Re: Όριο αθροίσματος (9)

Re: Όριο αθροίσματος (9)

Re: Όριο αθροίσματος (9)

Re: Όριο αθροίσματος (9)

Re: Όριο αθροίσματος (9)

Μέλη σε σύνδεση