int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Απρ 24, 2009 10:10 am

Νά δειχθεί ότι:

\displaystyle\int{\frac{\sqrt{1+x^4}}{x^4-1}\,dx}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{x^4+1}-x\,\sqrt{2}}{\sqrt{x^4+1}+x\,\sqrt{2}}}\right|+\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\arctan\sqrt{\tfrac{x^4+1}{2x^2}}+c


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Απρ 25, 2009 12:27 pm



{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
χρηστος ευαγγελινος

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστος ευαγγελινος » Σάβ Απρ 25, 2009 5:13 pm

αν παραγωγιζαμε το δευτερο μελος δεν εβγαινε?


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Απρ 25, 2009 7:01 pm

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:αν παραγωγιζαμε το δευτερο μελος δεν εβγαινε?
Δηλαδή ;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
χρηστος ευαγγελινος

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστος ευαγγελινος » Σάβ Απρ 25, 2009 9:45 pm

δηλαδη να παραγωγισουμε το αποτελεσμα και να βγει η ολοκληρωτεα,εφ οσον η εκφωνηση δινει το ζητουμενο.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Απρ 25, 2009 10:00 pm

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:δηλαδη να παραγωγισουμε το αποτελεσμα και να βγει η ολοκληρωτεα,εφ οσον η εκφωνηση δινει το ζητουμενο.
Προφανώς, μπορούμε νά ακολουθήσουμε τήν αντίστροφη πορεία! Όμως τό ζητούμενο είναι πάντοτε τό ευθύ, δηλ. η επίλυση τού ολοκληρώματος. Απλώς αυτήν τήν φορά, αντί νά ζητήσω τήν επίλυση τού ολοκληρώματος, ελπίζωντας ότι κάποιος θά βρεί κάτι, έδωσα καί τό αποτέλεσμα σάν βοήθεια, μιάς καί πρόκειται γιά αρκετά δύσκολο ολοκλήρωμα.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Απρ 25, 2009 10:05 pm

Γρηγόρη τα ολοκληρώματα σου καλό είναι τα προσφέρεις μαζί με καμιά σόδα (είναι λίγο δύσπεπτα) :lol: :lol:αλλά είναι και προκλήσεις ;)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
χρηστος ευαγγελινος

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστος ευαγγελινος » Σάβ Απρ 25, 2009 10:44 pm

νομιζω πως ειναι λιγο ματαιο να προσπαθει να καποιος να υπολογισει ενα ολοκληρωμα τη στιγμη που και ενας μαθητης λυκειου μπορει να γραψει ενα που δε θα λυνεται με τιποτα.

π.χ. να υπολογιστει το \int\limits_1^{2009} {\frac{{x^{x + x^8 } \left( {\frac{1} 
{{x\cos (x + 4)}}} \right)}} 
{{\tan \left( {3x\ln x + e^{x + 2} } \right)}}\left( {3x^{\ln x}  + 4^x } \right)dx}

ενταξει,υπαρχουν πολλες περιπτωσεις που καποια μεθοδολογια τα επιλυει αλλα γενικως το θεμα ανεξαντλητο και οχι πολυ χρησιμο απο ενα σημειο και μετα.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Απρ 26, 2009 7:32 am

Χρήστο, σέ γενικές γραμμές συμφωνώ μέ όσα γράφεις - άλλωστε δέν έχω κάποιο πάθος μέ τήν επίλυση ολοκληρωμάτων - όμως επέτρεψέ μου μιά-δυό παρατηρήσεις:
χρηστος ευαγγελινος έγραψε:νομιζω πως ειναι λιγο ματαιο να προσπαθει να καποιος να υπολογισει ενα ολοκληρωμα τη στιγμη που και ενας μαθητης λυκειου μπορει να γραψει ενα που δε θα λυνεται με τιποτα.
π.χ. να υπολογιστει το \int\limits_1^{2009} {\frac{{x^{x + x^8 } \left( {\frac{1} 
{{x\cos (x + 4)}}} \right)}} 
{{\tan \left( {3x\ln x + e^{x + 2} } \right)}}\left( {3x^{\ln x}  + 4^x } \right)dx}
Οί συναρτήσεις γιά τίς οποίες ζητείται η αντιπαράγωγος δέν είναι κάποιες περίπλοκες - σάν αυτή τού παραδείγματος πού δίνεις - αλλά οί κομψότατες \dfrac{1+x^2}{\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}} καί \dfrac{\sqrt{1+x^4}}{x^4-1}. Επιπλέον γι' αυτές τίς συναρτήσεις, τά πανίσχυρα, όσον αφορά τόν υπολογισμό ολοκληρωμάτων, μαθηματικά προγράμματα δίνουν επίλυση μέ τήν βοήθεια ελλειπτικών συναρτήσεων, κάτι πού, όπως βλέπεις, δέν απαιτείται.

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:... αλλα γενικως το θεμα ανεξαντλητο και οχι πολυ χρησιμο απο ενα σημειο και μετα.
Αυτή είναι μία πολύ χρήσιμη παρατήρηση, μέχρι τήν στιγμή πού θά χρειασθεί κανείς νά υπολογίσει ένα δύσκολο ολοκλήρωμα.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
χρηστος ευαγγελινος

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστος ευαγγελινος » Κυρ Απρ 26, 2009 3:32 pm

γρηγορη εχεις δικιο και συμφωνω μαζι σου.αν χρειαστει καποιος να υπολογισει ενα δυσκολο ολοκληρωμα τοτε θα πρεπει να πολεμησει με ολα τα δυνατα μεσα.οσο για την κομψοτητα καποιων συναρτησεων αυτο ειναι υποκειμενικο νομιζω(για τη συγκεκριμενη περιπτωση συμφωνω μαζι σου παντως οτι ειναι κομψες).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης