Ακολουθία (3)

#1

Έστω

, $b \in \mathbb{R}$ και η ακολουθία $\{x_n\}_{n\geq 1}$ τέτοια ώστε x_1=b

και $\displaystyle x_n=x_{n-1}+\ln (e^{x_{n-1}}+a+1), \ n\geq 2.$

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle {\lim _{n\rightarrow \infty} \frac{e^{x_{n+1}}}{(e^{x_{1}}+1)(e^{x_{2}}+1)\cdots(e^{x_{n}}+1)}}$ .

#2

Έχουμε $\displaystyle{x_{n+1}-x_{n}=\ln(e^{x_{n}}+a+1)>0}$ , άρα η $x_{n}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Αν είχαμε $\displaystyle{x_{n}\to x\in\mathbb R}$ , θα είχαμε από την αναδρομική σχέση $x=x+\ln(e^{x}+a+1)\Rightarrow e^{x}=-a<0$ , άτοπο, άρα η $x_{n}\to+\infty$ .

Για την $\displaystyle{\frac{e^{x_{n+1}}}{(e^{x_{1}}+1)(e^{x_{2}}+1)\cdots(e^{x_{n}}+1)}:=\frac{a_{n}}{b_{n}}}$

έχουμε προφανώς ότι η $a_{n}$ αυξάνει γνησίως στο $+\infty$ και ότι $\displaystyle{\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=e^{x_{n+1}}+1>1}$ αλλά και $\displaystyle{b_{n}>e^{x_{n}}+1>e^{x_{n}}}$ , από όπου έπεται ότι και η $b_{n}$ αυξάνει γνησίως στο $+\infty$ .

Απο Cesaro Stolz τώρα έχουμε

$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}\color{blue}=\color{black}\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{x_{n+1}}-e^{x_{n}}}{(e^{x_{1}}+1)\cdots(e^{x_{n}}+1)e^{x_{n+1}}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{(e^{x_{1}}+1)\cdots(e^{x_{n}}+1)}-\frac{1}{(e^{x_{1}}+1)\cdots(e^{x_{n}}+1)e^{x_{n+1}-x_{n}}}\right)\stackrel{*}{=}$

$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{(e^{x_{1}}+1)\cdots(e^{x_{n}}+1)}-\frac{1}{(e^{x_{1}}+1)\cdots(e^{x_{n}}+1)(e^{x_{n}}+a+1)}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b_{n}(a_{n-1}+a+1)}=0}$

$\displaystyle{*}$ Από την $\displaystyle{x_{n+1}=x_{n}+\ln(e^{x_{n}}+a+1)}$ έχουμε $\displaystyle{e^{x_{n+1}-x_{n}}=e^{x_{n}}+a+1}$ .

Edit: Η λύση έχει λάθος στο μπλε σημείο. Ευχαριστώ τον socrates

Ακολουθία (3)

Ακολουθία (3)

Re: Ακολουθία (3)

Μέλη σε σύνδεση