Πρωινό ολοκλήρωμα 4

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Πρωινό ολοκλήρωμα 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Δεκ 12, 2010 11:42 am

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

\displaystyle{{\int\limits_{ - \infty }^\infty  {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{({e^x} - x)}^2} + {\pi ^2}}}} }}

Μοιάζει με αυτό viewtopic.php?f=9&t=5737 ως προς τον τρόπο αντιμετώπισης;

Σπύρο Ορφανάκη χρ'ονια σου πολλά. Ελπίζω να έβαλα σωστά την αρίθμηση στα πρωινά


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Πρωινό ολοκλήρωμα 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Τετ Νοέμ 16, 2011 5:27 pm

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle f\left(z \right)=\frac{1}{\left(e^z-z \right)^2+\pi^2}, η οποία είναι μερόμορφη στο άνω ημιεπίπεδο, και έχει απλούς πόλους τις τις ρίζες που προκύπτουν από τον μηδενισμό του παρανομαστή.Έστω και το ημικύκλιο (θετικής φοράς) \displaystyle \gamma:\left[0,\pi \right]\rightarrow \mathbb{C}. Πάμε να βούμς τις ρίζες του παρανομαστή. Έχουμε \displaystyle \left(e^z-z \right)^2+\pi^2=0\Leftrightarrow \left(e^z=z+\pi i \right)\vee \left(e^z=z-\pi i \right). Για την πρώτη, θέτουμε \displaystyle u=z+\pi\Rightarrow  e^{u}=-u\Leftrightarrow ue^{-u}=-1\Leftrightarrow u=-W\left(1 \right)\Leftrightarrow \displaystyle z=-\pi i-W\left(1 \right), όπου \displaystyle W\left(1 \right) η πραγματική λύση της εξίσωσης \displaystyle xe^x =1 και \displaystyle W\left(z \right),z \in \mathbb{C} η συνάρτηση Lambert. Άρα οι πόλοι που θα προκύωουν είναι οι \displaystyle -\pi i-W\left(1 \right),\pi i-W\left(1 \right). Άρα από το θεώρημα του Caychy , έχουμε \displaystyle \int_{\gamma}f\left(z \right)dz=2\pi iRes\left(f,\pi i-W\left(1 \right) \right). Και \displaystyle Res\left(f,\pi i-W\left(1 \right) \right)=\lim_{z\rightarrow \pi i-W\left(1 \right)}\frac{z-\pi i+W\left(1 \right)}{\left(e^z-z \right)^2+\pi^2}=\lim_{z\rightarrow \pi i-W\left(1 \right)}\frac{1}{2\left(e^z-z \right)\left(e^z-1 \right)}=\frac{1}{2\pi i\left(1+W\left(1 \right) \right)}.

Το βήμα πριν το αποτέλεσμα προκύπτει εύκολα από τον κανόνα του De Hospital. Και \displaystyle \int_{\gamma}f\left(z \right)dz=\int_{-R}^{R}{f\left(z \right)}dz+\int_{0}^{\pi}{f\left(Re^{it} \right)iRe^{it} dt}. Θα αποδέιξουμε ότι \displaystyle \lim_{R\rightarrow \infty}\int_{0}^{\pi}{f\left(Re^{it} \right)iRe^{it}}dt.

Όμως \displaystyle \left|\int_{0}^{\pi}{f\left(Re^{it} \right)iRe^{it}}dt \right|\leqslant \left|\int_{0}^{\pi/2}{\frac{iRe^{it}}{\left(e^{Re^{it}}-Re^{it} \right)^2+\pi^2}} \right|+\left|\int_{\pi/2}^{\pi}{\frac{iRe^{it}}{\left(e^{Re^{it}}-Re^{it} \right)^2+\pi^2}} \right|.

Για \displaystyle t \in \left(0,\pi /2 \right) \displaystyle \left|\left(e^{Re^{it}}-Re^{it} \right)^2+\pi^2 \right|\geqslant \left|\left|e^{2Re^{it}}+Re^{2it}-2Re^{it+e^{it}} \right|-\pi^2 \right| και \displaystyle \left|e^{2Re^{it}}+R^2e^{2it}-2Re^{it+Re^{it}} \right|\geqslant \left|e^{2R\cos t}-Re^{it}\left|Re^{it}-2e^{Re^{it}} \right|\right|\geqslant \left|e^{2R\cos t}-R\left|Re^{it}-2e^{Re^{it}} \right| \right|. Όμως \displaystyle e^{2R\cos t}-R\left|Re^{it}-2e^{Re^{it}} \right|\geqslant e^{2R\cos t}-R^2-2Re^{R\cos t}. Για μεγάλα R: \displaystyle e^{2R\cos t}-R^2-2Re^{R\cos t}=R^2\left(\frac{e^{R\cos t}\left(e^{R \cos t} -2R \right)}{R^2}-1 \right)\rightarrow \infty.

Έτσι \displaystyle  \left|e^{2Re^{it}}+R^2e^{2it}-2Re^{it+Re^{it}} \right|-\pi^2 \geqslant...\geqslant \left|e^{2R\cos t}-R^2-2Re^{R\cos t} \right|-\pi^2. Άρα \displaystyle R\left|f\left(Re^{it} \right) \right|\leqslant \frac{1}{\frac{1}{R}\left(e^{2R\cos t}-R^2-2Re^{R\cos t}-\pi^2 \right)}\rightarrow 0, t \in \left(0,\pi/2 \right) και το πρώτο ολκήρωμα μηδενίζεται.

Για \displaystyle t\in \left(\pi/2,\pi \right): \left|\left(e^{Re^{it}}-Re^{it} \right)^2+\pi^2 \right|\geqslant \left|\left|e^{2Re^{it}}+R^2e^{2it}-2Re^{{it}+Re^{it}} \right|-\pi^2 \right|. Όμως \displaystyle \left|e^{2Re^{it}}+R^2e^{2it}-2Re^{{it}+Re^{it}} \right|\geqslant \left|R^2-\left|e^{2Re^{it}}-2Re^{{it}+Re^{it}} \right| \right| και \displaystyle ,-\left|e^{2Re^{it}}-2Re^{{it}+Re^{it}} \right|\geqslant -e^{2R\cos t}-2Re^{R\cos t}\rightarrow 0,R\rightarrow \infty.Άρα \displaystyle  \left|R^2-\left|e^{2Re^{it}}-2Re^{{it}+Re^{it}} \right| \right|\sim R^2\Rightarrow \frac{1}{R} \left|R^2-\left|e^{2Re^{it}}-2Re^{{it}+Re^{it}} \right| \right|\sim R. Άρα \displaystyle R\left|f\left(Re^{it} \right) \right|\leqslant \frac{1}{\frac{1}{R}\left(\left|R^2-\left|e^{2Re^{it}}-2Re^{it+Re^{it}} \right| \right| \right)}\rightarrow 0.

Άρα αφού μηδενίζονται και τα δύο ολοκληρώματα έχουμε \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{dx}{\left(e^x-x \right)^2+\pi^2}}dx=2\pi iRes\left(f,\pi i-W\left(1 \right) \right) \Rightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{dx}{\left(e^x-x \right)^2+\pi^2}}dx=\frac{1}{1+W\left(1 \right)} με \displaystyle W\left(1 \right) η πραγματική λύση της \displaystyle xe^x=1.

Μερικές πληροφορίες για την συνάτηση Lambert http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function. Έχει και το αποτέλεσμα στο αρχικό ολοκλήρωμα.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Πρωινό ολοκλήρωμα 4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Νοέμ 16, 2011 5:57 pm

Ωραίος ο Κωστής..! Μπλέχτηκες και συ με τα αίσχη για τα καλά ε...;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Πρωινό ολοκλήρωμα 4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Σεπ 08, 2012 11:24 am

Δυο σχετικοί σύνδεσμοι: 1) και 2), (πατήστε κάτω από τη 2.5 στο Beweis...).


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες