Άπειρα σημεία ασυνέχειας

[s.kap]

Πως θα αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση , η οποία είναι 1-1 και επί, έχει άπειρα σημεία ασυνέχειας;

[s.kap]

Σας αντιγράφω τη λύση που μου έστειλε με π.μ., γιατί δεν είχε το χρόνο να τη γράψει αναλυτικά ένα από τα καταπληκτικά νέα παιδιά του , ο Ηλίας (Ilias_Zad)
Δεν θα πάψω ποτέ να επαινώ αυτά τα παιδιά, γιατί το αξίζουν και γιατί η παρουσία τους στο με γεμίζει χαρά
Η δική μου παρέμβαση στη λύση περιορίζεται στη διόρθωση κάποιων συμβόλων.

Επειδή ο χρόνος μου δεν μου επιτρέπει να ασχοληθώ με το να την γράψω αναλυτικά την λύση ,σας στέλνω μέσω πμ που έχω καταλήξει.
Αρχικά απο το παραπάνω πρέπει να είναι ασυνεχής στην τιμή ας πούμε a που δίνει μηδέν.
Έστω τα σημεία ασυνέχειας και οι εικόνες τους.
Τώρα υπάρχει s μια μεταθεση του 1,2,..,k τέτοια ώστε (1) και ,
όπου , λόγω του επί. Όμως κάθε διάστημα της (1) επειδή f συνεχής και 1-1, άρα και μονότονη, στέλνεται επίσης σε ανοικτο διάστημα.
Τα διαστήμα που στέλνει κάθε ένα είναι ξένο με τα άλλα πάλι λόγω 1-1.
Άρα καταληγουμε f-άροντας την (1) ότι μια ένωση απο k ξένα ανοικτά διαστήματα είναι ίση με μια ένωση απο k-1 ξένα ανοικτά διαστήματα, κάτι που όμως είναι αδύνατο.

Και για την αντιγραφή

[S.E.Louridas]

Αυτά τα Μεγάλα (μικρά σε ηλικία) Μαθηματικά ταλέντα Σπύρο σε τρελαίνουν.
Είδες τι λύση έκανε; Καί μετά καθόμαστε και συζητάμε περί άλλων.
Θα ήθελα να αναφερθώ, άν μου το επιτρέπετε εσύ και το ταλέντο μας ο Ηλίας ,σε ένα παρεμφερές όμορφο θεωρητικό θέμα που προάγει μέθοδο.

"Να αποδειχθεί οτι το σύνολο των σημείων ασυνέχειας μίας μονότονης συνάρτησης y=f(x)/R είναι το πολύ αριθμήσιμο"

S.E.Louridas

[s.kap]

Σωτήρη καλησπέρα. Συνηγορώ απόλυτα με την άποψή σου για τα ταλέντα του .
Όσον αφορά το θεωρητικό θέμα που έθεσες, πολύ φοβάμαι πως εκεί που το έβαλες θα περάσει απαρατήρητο.
Φιλικά